一、一元二次方程的定義。
只含有一個未知數，並且未知數項的最高次數是2，經過整理後都可化成一般形式ax +bx+c=0（a≠0）的形式，這樣的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數）叫一元二次方程的一般形式，其中ax 叫作二次項，a是二次項係數；bx叫做一次項，b是一次項係數；c叫作常數項。一元二次方程一般形式變形式有：ax +c=0（a≠0，a、c為常數）；ax +bx=0（a≠0，a、b為常數）；ax =0（a≠0，a為常數）
一元二次方程方程練習：
1、在x +3=x; 3 x - 4x – 5 ; x =- 1/x+2是一元二次方程的有（ ）
2、關於x的方程mx -3x= x2-mx+2是一元二次方程,則m___________．
3、方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形 式是____________________,二次項係數是____,一次項係數是____, 常數項是______.
4、一元二次方程(m+3) x +4x+ m - 9=0有一個解為0 , 則 m=______.
二、一元二次方程的解法。
1.直接開平方法
形如x ＝p，（p≥0），解為x＝±√p
形如（nx＋m） ＝p，（p≥0），解為nx＋m＝±√p。
2.配方法。
將一元二次方程配成（x＋m） ＝p （p≥0）的形式，再利用直接開平方法求解。
解題思路：1、把一元二次方程化為一般形式。2、方程兩邊同除以二次項係數，化二次項係數為1。3、把一元二次方程的常數項移到方程右邊。4、方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方。5、把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數，即形如（x＋m） ＝p （p≥0）的形式。6、通過直接開平方法求出方程的解。如果方程右邊是非負數，則方程有兩個實根；如果方程的右邊是一個負數，則方程無解。
註：配方法的理論依據是完全平方公式（a±b） ＝a ＋2ab＋b 。關鍵是方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方。
3.公式法。
把一元二次方程化成一般形式ax +bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數），確定a、b、c的值，然後代入求根公式x＝（-b±√b -4ac）/2a，求出x值。
4.因式分解法
利用提公因式，或乘法公式求一元二次方程的根。
解題步驟：1、化一元二次方程為一般形式。2、一元二次方程右邊寫成兩個一次因式的積。
理論依據是ab＝0，則a＝0或b＝0，進而求出方程式根。
5.十字相乘法。
x ＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）
6.換元法。換元法為了解決較複雜的一元二次方程。
練習
（1）（x ＋y ）（x ＋y -3）-4＝0，求x ＋y 的值。
（2）（x ＋2x）（x ＋2x＋3）-4＝0，求x
（3）
三、求解一元二次方程的方法思路。
1、殘缺的一元二次方程（一元二次方程三項不全對）
缺少一次項用直接開方法。如，x -4＝0。
缺少常數項用提公因式法。如，3x ＋5＝0
2、不殘缺，兩邊都是完全平方式的，用開平方法較為簡單。如，4（x＋2） ＝9（x＋3）
3、解方程除以上特殊情況外，別樣方程解法，依次考慮提公因式法、公式法、配方法。
四、根的判別式。（b -4ac）
1、b -4ac＞0，原方程有兩個不相等的實數根。
2、b -4ac＝0，原方程有兩個相等的實數根。
3、b -4ac＜0，原方程沒有實數根。
4、b -4ac≥，原方程有實數根。
練習
（1）
（2）
五、根與係數的關係。（x1＋x2＝-b/a，x1x2＝c/a）
練習
1、實數a、b滿足a -6a＋4＝0，b -6b＋4＝0，求b/a＋a/b的值。
2、實數a、b滿足a -6a＋4＝0，b -6b＋4＝0，求a -5a＋b的值。
3、
六、一元二次方程的應用。
1、面積類一元二次方程應用。
（1）面積類應用題
某大學為改善校園環境，計劃在一塊長80米，寬60米的矩形場地中央建一個矩形網球場，網球場佔地面積為3500平方米，四周為寬度相等的人行步道. 求人行步道的寬度.
悅風中學學校生物小 組有一塊長32 m、寬20 m的矩形試驗田，為了方便管理，準備沿平行於兩邊的方向縱、橫各開闢一條等寬的小道，要使種植面積為540 m2，小道的寬應是多少?
(自貢中考)利用一面牆(牆的長度不限)，另三邊用58 m長的籬笆圍成一個面積為200 m2的矩形場地，求矩形的長和寬．
（2）增長率類一元二次方程應用題（始數（1±增長率） ＝末數）
隨著市民環保意識的增強，煙花爆竹銷售量逐年下降．鹹寧市2011年銷售煙花爆竹20萬箱，到2013年煙花爆竹銷售量為9.8萬箱．求鹹寧市2011年到2013年煙花爆竹年銷售量的平均下降率．
（3）銷售類應用題（公式：（每件利潤x銷售量＝總利潤）