從一元二次方程的虛數根推導出高次函數的分解因式

2020-12-10 電子通信和數學

如果要求一個多項式的分解因式，首先就就是讓這個多形式等於0，求出這個方程的根，這個方程的根就給出了該多項式的所有因式

我們根據這個思路來求解a^n+z^n的分解因式，這裡的z是未知數，大學的你應該對此比較熟悉

我們今天就從最簡單的一元二次方程出發，如下一元二次方程沒有實數根，僅有虛數根的化那麼4pr>q^2

對於上述的式子，我們用一種新的思路分析，將小於1用三角函數來代替，即等於cosφ,此時就將小於號變成了等號，這是非常巧妙地

為了更好地處理，我們將原先的一元二次方程，變成如下樣式，這樣地變換也是非常方便地

根據你的高中知識，很容易得到上述一元二次方程的虛數根

根據棣莫弗公式

帶入下面地高次方程，仍然是成立地，

所以分析得知如下這個式子就是高次方程的因式，而且含有虛因式

我們來分析，將上式帶入如下地a^n+z^n，得到如下圖的結果，這裡設r=p/q，我們得到兩個方程

如下圖，兩個三角函數方程的解只有一種是成立的。

所以a^n+z^n的因式為

最終得到，如下函數分分解因式

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