解曲線有關的高考數學壓軸題,掌握此種方法將助你一臂之力

2020-12-20 吳國平數學教育

在高中數學教材中,極坐標方程與參數方程相關知識內容,雖然有些屬於選修內容,但隨著高考改革的不斷深入,對高中數學選修部分考查也有了更加新穎的方法。

如用極坐標方程去解決數學問題具有獨特的優勢,在極坐標(P,θ)中,P表示線段長度,靈活方便,並且能從極坐標方程中求出;θ表示角度,可使有關運算轉化為三角函數式,計算有公式可循,因此它與直角坐標相比,有獨特的功能,特別在處理圓錐曲線的弦、半徑等問題中,極坐標具有一定的優越性。

在歷年高考數學當中,與圓錐曲線有關的綜合題型一直是高考重難點和熱點問題之一,也是高中數學教學內容當中的難點問題。解決此類題型切入口寬,靈活程度大,計算繁瑣,費時費力,正確率低。

解析幾何的基本思想就是在平面上引進「坐標」的概念,建立平面上的點和坐標之間的一一對應,從而建立曲線的方程,並通過方程研究曲線的性質。

因此,一旦考生找不到準備解題方法,或解題方法不得當,就會陷入困境。若此時我們適時合理地選用極坐標方程或參數方程,藉助於參數方程中參數的幾何意義來解題,竜起到事半功倍的效果。

典型例題分析1:

考點分析:

參數方程化成普通方程.

題幹分析:

(1)曲線C:(α為參數),利用cos2α+sin2α=1可得直角坐標方程,.利用ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,即可化為直角坐標方程.直線l(t為參數),消去參數t可得普通方程.

(2)利用點到直線的距離公式圓心C(0,2)到直線l的距離d.可得A,B兩點間距離|AB|的最小值=d﹣r.

對選修內容,不同的地區或不同學校會選擇不一樣的板塊,但在高考中往往會把所有內容實行全部羅列,從中再讓學生進行不同選擇,這樣就為不同學生發展提供了有利條件。

極坐標和參數方程是高中數學當中重要的知識點,也是高考數學考查的一個重要對象。在平時的數學學習過程中,我們要學會對極坐標和參數方程內容在高考中的考查和應用,進行了一個全面總結,讓自己對相關考點和題型做到心裡有數。

如在解析幾何試題中,與圓錐曲線的同一焦點弦的兩焦半徑的長的有關問題是極為常見的,此類問題的多種解法中,用圓錐曲線的統一定義(極坐標)求焦半徑長入手最簡單橢圓、雙曲線、拋物線可以統一定義為:平面上與一定點F(焦點)的距離和一條定直線l的距離比為定值e的點的軌跡。

典型例題分析2:

考點分析:

簡單曲線的極坐標方程;參數方程化成普通方程.

題幹分析:

(I)曲線C的方程是(x﹣2)2+(y﹣l)2=4,展開把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得極坐標方程.由於直線l經過點P,傾斜角為π/6,可得參數方程:(t為參數).

(II)直線l的極坐標方程為:θ=π/6,代入曲線C的極坐標方程可得,利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出.

在高考複習階段,我們要以研究高考試題來認識高考數學,把握重點,逐步提高數學綜合能力。

高考數學對極坐標一般有這麼幾個要求:

1、能在極坐標系中用極坐標表示點的位置,理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區別,能進行極坐標和直角坐標的互化。

2、能在極坐標系中給出簡單圖形(直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程。通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程,理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義。

圓錐曲線的極坐標方程是高中數學新課程中的選修內容,雖然這塊內容是獨立的,但是它的解題方法不是獨立的,可以進行知識遷移,用極坐標可以簡解一些有關圓錐曲線問題的高考題。

典型例題分析3:

考點分析:

簡單曲線的極坐標方程;參數方程化成普通方程.

題幹分析:

(Ⅰ)由曲線C的參數方程(θ為參數)利用cos2θ+sin2θ=1可得曲線C的直角坐標方程.由ρsin(θ+π/4),得Ρ(sinθcosπ/4+cosθsinπ/4),

(II)解法1:由於點Q是曲線C上的點,則可設點Q的坐標,點Q到直線l的距離為d.利用三角函數的單調性值域即可得出.

解法2:設與直線l平行的直線l'的方程為x+y=m,與橢圓方程聯立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0,令△=0,解得m即可得出.

自從「坐標」這個概念誕生以來,坐標思想就成為現代數學中最重要的基本思想之一,坐標系是聯繫幾何與代數的橋梁,是數形結合的有力工具,利用它可以使數與形相互轉化。

相關焦點

  • 高考數學複習實戰專題,導數壓軸題,表達式含有參數,求零點個數
    高考數學複習實戰專題,導數壓軸題,函數表達式含有參數,如何求函數的零點個數。由於函數表達式中的參數的值不是特定的值,所以會增加不小的難度,例如在求函數單調區間時參數取不同值時單調性不同,則就需要分類討論,在比較大小時也會因此而困難很多;歷年高考數學中的導數壓軸大題基本都是這類題型,所以一定要重視並熟練掌握。
  • 高考數學壓軸題秒殺技巧:用拉格朗日中值定理,輕鬆搞定導數大題
    在這個時候,如果我們提前知道了一些高等數學(大學數學)的相關知識,那麼在解題的過程中,相對來說,就簡單很多。因為這些高考試題本身就帶有高等數學的相關「影子」,同時高等數學的一些知識點,應用到高考題目中,一般只應用一些比較簡單的部分,所以此時用高等數學的知識去解決高考壓軸大題,就變得簡單了。
  • 是高效求解圓錐曲線有關選填題、壓軸大題的立足點
    溫馨提示:本號原創之導數和圓錐曲線專題課程,可助您更輕鬆、高效地攻克高考數學最難的導數和圓錐曲線綜合應用壓軸題。具有系統專業、思路清晰、圖文並茂、易學易懂等突出特點,眼見為實!1.所以,交點坐標有關問題——比如求交點坐標值或交點坐標有關表達式,可說是圓錐曲線的最常見基本問題——在近年圓錐曲線有關高考選填題、壓軸題中,每年都會涉及這個問題。
  • 衝刺2019年高考數學,典型例題分析69:與橢圓有關的壓軸題
    解題反思:橢圓是二次曲線中的重要曲線,也是高考命題的熱點。解橢圓題不僅要熟練掌握基礎知識,而且還要掌握一些解題技巧,才能提高解題能力。高考試題特點回顧橢圓,是圓錐曲線中的重要內容之一,也是高考的熱點之一,在高考中主要考查橢圓的概念和性質、求曲線方程及軌跡方程、直線與網錐曲線的關係、定值最值問題、參數問題等。在選擇題、填空題中主要考查橢圓的概念、幾何性質等基礎知識,而解答題則是考查橢圓與其他知識的交匯。以中檔題、壓軸題的形式出現。
  • 高考數學,導數,求極值的常規、提高和壓軸題型,非常值得一練
    高考數學,導數,求極值的常規、提高和壓軸題型,非常值得一練。主要內容:求或討論函數的極值。考察知識:1、利用導數的知識求函數的極值的方法;2、導數綜合運算的能力;3、做題過程中遇到困難,靈活變通的能力。01、常規題型,求極值的通用解法。
  • 高考數學最後兩道大題,一般會考什麼題?此類題考到的可能性很大
    直線與圓錐曲線相結合的綜合問題,一直是高考數學中的重點和必考內容。大部分情況下,直線與圓錐曲線綜合問題都是作為高考壓軸題的形式出現。因此,如果你想在高考數學中把該類試題的分數拿到手,那麼你就必須對直線和圓錐曲線各個知識點非常熟悉。
  • 直線與圓錐曲線位置關係有關技能,助你有效攻克相關高考高頻題型
    溫馨提示:本講屬於高中數學圓錐曲線專題——是繼本號原創之導數專題之後,又一個在公眾平臺上發布的、用於攻克高考壓軸大題的精品課程!在本講開始之前,先來看一下近五年高考中圓錐曲線有關題目的命題特點。近五年高考所有相關題目列舉如下:① 2016年高考1卷理數的圓錐曲線有關題目② 2017年高考1卷理數的圓錐曲線有關題目③ 2018年高考1卷理數的圓錐曲線有關題目
  • 高考數學:掌握這些常考必考知識點,不在盲目刷題~
    作為過來人,經歷高考後再根據歷年高考真題總結分析,其實真的萬變不離其宗,高中數學一共3002個知識點,其中就259個核心考點,120個常考必考題型。我在大學兼職做家教的時候經常和我的學生這樣說,但是他們不信,直到高考考完試我和他們一起分析試卷,我學生們才覺得我說的沒錯,可是考試已經完事了,後悔沒有用。學習是講究方法的,希望同學們請記住:高分=基礎知識過關+應試技巧過關,你現在可以否認這一說法,但是等你真正高考完在回顧知識點你就會覺得我說的有道理。
  • 高考數學突破140分:導數壓軸題中極值不定型難題的解題方法!
    導數壓軸題中極值不定型題目是近幾年高考題的高頻題型,解題中如果採用設而不求的方法,巧妙轉換,可以極大降低解題過程,攻克題目難點。思路分析:用導數來研究函數的極值的問題,有兩種情況,一種是極值點可以順利求並計算出極值;另一種是極值點不定,不能準確求出,但可用零點存在性定理的端點值來證明其存在,並根據極值點的取值範圍來討論極值的範圍。本題屬於極值點不可求型。問題真正的難點在於,如何通過極大值點的範圍、極大值點滿足的方程來求得極大值的範圍。
  • 2017高考數學:掌握這6大類題型,你的成績一定140+
    一、三角函數題  三角題一般在解答題的前兩道題的位置上,主要考查三角恆等變換、三角函數的圖像與性質、解三角形等有關內容.三角函數、平面向量和三角形中的正、餘弦定理相互交匯,是高考中考查的熱點.
  • 北京高考語文已現滿分作文 數學壓軸大題也有考生得滿分
    今天(6月14日),北京高考閱卷進入第六天,在下午的高考評卷媒體開放日上,北京日報客戶端記者了解到,今年全市共需閱卷約20萬份,共有1173名教師參與評卷,實行全科目網上閱卷,各科試題全部「背靠背雙評」,最多進行四評。目前,本市高考語文閱卷中,作文有滿分卷;數學閱卷中,最難的壓軸大題已有考生得滿分。
  • 高中數學是噩夢?學會這四種方法,幫你輕鬆提高數學成績
    1、打好數學基礎非常重要,至少有兩點好處:(1)數學基礎紮實,將能夠拿到60%—70%的基礎分。在高中階段,很多考試考察的其實是學生對基礎知識的掌握能力。(2)數學基礎知識是解決數學大題、難題的關鍵。在數學學習中,很多同學傾向於上來就去做大題、做壓軸題,而對零碎的基礎知識點卻毫不重視。
  • 2016高考數學複習方法總結:高中數學--圓錐曲線
    圓錐曲線,在高考中一直作為壓軸大題的形式出現,其實圓錐曲線很簡單,那麼從哪些地方下手才能輕鬆學好圓錐曲線呢?本期超級學團的學霸老師的主題就是:圓錐曲線。   圓錐曲線之所以叫做圓錐曲線,是因為它是從圓錐上截出來的。古希臘數學家阿波羅尼採用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。
  • 北京市初三數學期末考:幾何壓軸題精選
    北京市中考數學,或者期末考試,多達28道題,考生們如果想要拿高分,倒數第二道幾何壓軸題必須得拿下,這樣才有時間去思考最後一道大題。而攻克倒數第二道幾何壓軸題,也成為大部分考生朋友們突破自己的關鍵。廢話少說,這裡直接上題。分享幾道2020年北京市初三數學期末考試倒數第二道幾何壓軸題。海澱區【分析】(1)①根據題意畫出圖形即可.
  • 高考數學丨雙曲線離心率大題20秒秒殺!今日份提分技巧,快收藏!
    「拼盡全力迎高考,苦盡甘來齊歡笑」是多少高三學子目前的真實寫照。而數學考試作為此次分水嶺大考的重要科目,其重要性不言而喻。來自北大的博士學霸邱崇學長經過長達7年的高考真題試卷的研究隨後苦心整理出「8種選填秒殺技巧」和「443道常考、必考母題清單」,90%題型都押中了,像提前知道答案一樣簡單!
  • 高考真題次壓軸題,經典轉化——好方法帶來的神奇功效,錯過可惜
    圖一這道題含有轉化思想,如何不學會如何轉化,第一問就做不出來,更別提第二問了,這道次壓軸題就會與你失之交臂。次壓軸題一分不拿,想打高分難上加難!!!那該怎麼辦呢?多學習一些解題方法才是解決這類問題的關鍵,玉w頭說教育會為你提供更多的解題方法和技巧。
  • 高考文科數學是最「拉分」的!6種題型分析和10大解題方法
    不管是文科還是理科,高考數學都是很多高三學生的拉分科目,尤其是數學大題。如果很多同學做到大題的時候,都因為時間不夠而導致試卷寫不完,那麼考試的得分肯定不會太高。而掌握數學大題的解題思想可以幫助同學們快速找到解題思路,節約思考和答題的時間,幫助同學們更好地提分。
  • 學完這節課,你也能做出高考數學圓錐曲線大題
    學完這節課,你也能做出高考數學圓錐曲線大題。這節課程是專門為那些一直懼怕或者總做不對圓錐曲線大題的學生們設置的,也是我做這類題時常用的方式之一,我調查過很多尖子生,他們中的很多也是這樣考慮問題的。請細細體會這道題的解析過程,相信你會得到很多。
  • 今年高考試卷特徵:數學突出實踐應用 英語融入傳統文化
    ,熟練掌握基本公式、基本方法。這些都充分體現了高考對學生數學能力、數學思想方法的重視,旨在提高學生的數學核心素養。理科試卷第三題以古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形為背景設計了一道幾何概型的試題考查,2017年也出了此種考題,在古代文化之下,試題的傳承意味更濃。
  • 小升初數學,行程問題壓軸題,可用這12道題徹底徵服,可列印
    關於重慶小升初數學,七所直屬高中的附屬初中出題難度非常大。特別時一、三、八和巴蜀這四所學校,數學壓軸題可以讓大學生崩潰,一般家長很難輔導。小升初難度大在這些數學壓軸題中,行程問題幾乎佔一半。前幾年的考試,小升初數學壓軸題幾乎都是行程問題。這兩年孩子們刷題厲害了,壓軸題中行程問題只能佔到一半左右,另一半主要是數論和材料閱讀題。