012017年真題再現
已知函數f(x)=ax^2－ax－x㏑x，且f(x)≥0.
⑴求a；
⑵證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e^(－2)<f(x0)<2^(－2)。
這道題含有轉化思想，如何不學會如何轉化，第一問就做不出來，更別提第二問了，這道次壓軸題就會與你失之交臂。
次壓軸題一分不拿，想打高分難上加難!!!
那該怎麼辦呢？
多學習一些解題方法才是解決這類問題的關鍵，玉w頭說教育會為你提供更多的解題方法和技巧。
下面就看看這個題的秒解，主要記錄解題方法。
02第一問解題妙招
第一問是求a的數值而不是a的取值範圍。
思路分析：
對於這樣的題，經常做題的同學會直接對函數f(x)進行求導，想通過函數的單調性得出函數f(x)的最小值，然後將最小值大於等於0列出不等式，在求出a的範圍。
這樣的思路做一般的題時可以的，但是在該題中卻行不通。
且不說該方法只是求出a的範圍而不是具體的數值，真正的求按這個思路求解後，會發現其實這道題並沒有我們想的那樣簡單。
參數a不定難以得出函數f(x)的單調性，即使是分布討論a的範圍，也不難得出a的數值。
所以上述的思想在這道題中不適用!!!
轉化思想：
上述思路不能解決時候就要及時的轉化函數。
因為f(x)=ax^2－ax－x㏑x，則有f(x)=x(ax－a－㏑x)。
因為x>0，所以f(x)≥0，實際就是ax－a－㏑x≥0。
設g(x)=ax－a－㏑x，則上述的問題就轉化成了g(x)≥0時，求a的數值。
這樣的轉化不僅簡化函數f(x)，也簡化了計算過程中的難度，所以在遇到這樣的函數時均可先簡化再計算。
第一問步驟：
因為g(x)=ax－a－㏑x，則一次導數g＇(x)=a－1/x。
因為g(1)=0，且g(x)≥0，定義域範圍x>0，所以g(x)≥g(1)。
所以函數g(x)應該是在區間(0,1)上是單調遞減函數；在區間(1,+∞)上是單調遞增函數。
所以當x=1時函數g(x)是一個極值點，即g＇(1)=0，所以有a－1/1=0，解得到a=1.
驗證：
當a=1時，函數一次導數g＇(x)=1－1/x=（x－1）/x。
當0<x<1時，g＇(x)<0，g(x)此時單調遞減；當x>1時，g＇(x)>0，此時函數g(x)是單調遞增。
此時g(x)在區間(0，+∞）上是先減後增的函數，存在最小值，即g(x)min=g(1)。
因為g(1)=0，所以g(x)≥0恆成立。
綜上所述，當f(x)≥0時，a=1.
03第二問解題妙招
第二問是要證明函數f(x)存在唯一極大值點x0，且函數f(x)滿足e^(－2)<f(x0)<2^(－2)成立。
即第二問需要證明兩點：一個是函數f(x)存在唯一極大值點x0；一個是函數f(x)滿足e^(－2)<f(x0)<2^(－2)這樣的關係。
證明函數f(x)存在唯一的極大值點：
由第一問可知，a=1，則函數f(x)=x^2－x－x㏑x，x>0。
一次導數f＇(x)=2x－㏑x－2無法判斷與0的大小關係，所以要進行二次求導，根據二次導數得出一次導數與0的大小關係。
二次導數為f＂(x)=2－1/x=(2x－1)/x。
當0<x<1/2時，f＂(x)<0，此時一次導函數f＇(x)單調遞減；
當x>1/2時，f＂(x)>0，此時一次導函數f＇(x)單調遞增。
即一次導函數是先減後增函數，存在最小值，即f＇(1/2)=㏑2－1<0.
當x趨近0正時，一次導函數f＇(x)趨近正無窮；當x=1時，一次導數f＇(x)的函數值恰好為0.
則x在區間(0,+∞）上一次導函數f＇(x)恰好與x軸有兩個交點：一個是x=x0，一個是x=1。
則一次導函數f＇(x)的圖像大致為
如圖二所示，
當0<x<x0時，一次導數f＇(x)>0，此時函數f(x)是單調遞增函數；
當x0<x<1時，一次導數f＇(x)<0，此時函數f(x)是單調遞減函數；
當x>1時，一次導數f＇(x)>0，此時函數f(x)是單調遞增函數。
此時一次導函數f＇(x)所對應的函數f(x)的圖像為
此時函數f(x)是先增後減再增，所以函數f(x)存在唯一的極大值x0.
擴展內容：
函數存在一個極大值點的情況如圖：
一次導數開後向上的時候：
一次導數開口向下的時候：
證明e^(－2)<f(x0)<2^(－2)成立：
由圖二可知，x0點在x=1/2的左側，即0<x0<1/2，且滿足f＇(x0)=0，則有㏑x0=2(x0－1)。
則f(x0）=（x0）^2－x0－x0㏑x0
=x0(x0－1－㏑x0)
=x0(x0－1－2x0+2)
=x0(－x0+1)
=－(x0)^2+x0
=－(x0－1/2)+1/4<1/4=2^(－2)。
所以f(x0)<2^(－2)。
由圖三可知，在區間(0,1)上函數f(x)在x0點取最大值，所以對於任意的x0∈(0，1)都有f(x0)>f(x)恆成立。
第二問解題技巧：將極大值轉化成某一區間的最大值來證明上述的結論。
因為1/e∈(0,1)，所以f(1/e)<f(x0)。
f(1/e)=1/e^2－1/e－1/e㏑(1/e)=1/e^2=e^(－2)。
所以f(x0)>e^(－2)。
綜上所述，e^(－2)<f(x0)<2^(－2).
04總結
第一問需要技巧的是：給出一個函數，這個函數是否可以化簡，將問題轉化成簡單的形式求解。
第二問需要的技巧是：一個極大值點可以在對應的原函數和一次導函數中得出相應的關係式以及得出x0點範圍；證明該極大值點所在的函數大於其他函數值時，可以將該極大值點在某一區間上轉化成最大值點求解。
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