研討素材四
一、教學內容解析
本節課是人教A版選修2-2第一章第五節《定積分的概念》的起始課．曲邊梯形的面積是定積分概念的幾何背景，求曲邊梯形面積的過程蘊涵著定積分的基本思想方法，為引入定積分的概念和體會定積分的基本思想奠定基礎.
二、學生學情分析
學生在本節課之前已經具備的認知基礎有：
1、學生了解了割圓術的基本思想和操作方法．
2、學生學習過數列求和的基本知識，學生也在課後思考中見過這個結論．
3、學生雖然未學習過極限的有關知識，但 通過導數的學習，對極限有了初步的認識．
學生在本節課學習中將會面臨兩個難點：
1、如何「以直代曲」，即學生如何將割圓術中「以直代曲，近似代替」的思想靈活地遷移到一般的曲邊梯形上．具體說來就是：如何選擇適當的直邊圖形（矩形、三角形或梯形）代替曲邊梯形，並使細分的過程程序化且便於操作和計算．
2、對「極限」和「無限逼近」的理解，即理解為什麼將直邊圖形面積和取極限正好是曲邊梯形面積的精確值．
三、教學目標設置
根據本節課的教學內容以及學生的認知水平，我確定了本節課的教學目標：
1. 理解並會初步應用求曲邊梯形面積的一般方法——「分割—近似代替—求和—取極限」．
2. 經歷求曲邊梯形面積的過程，體驗「以直代曲」和「無限逼近」的思想方法，感受數學中的轉化與化歸思想．
3. 通過曲邊梯形的面積這一實例，了解定積分的幾何背景，藉助幾何直觀體會定積分的基本思想．
重點是：
探究求曲邊梯形面積的方法．
難點是：
把「以直代曲」的思想方法轉化為具體可操作的步驟，理解「無限逼近」的思想方法． 四、教學策略分析
針對本節課的重點——探究求曲邊梯形面積的方法，教學中採用從一般到特殊再到一般的教學過程，先通過討論一般的曲邊梯形如何以直代曲，再通過特例應用實施，小結步驟，最後進行一般推廣，共性歸納，從而逐步強化求曲邊梯形面積的方法和步驟，突出教學重點．
本節課的難點之一就是如何「以直代曲」．
針對這個難點，教學中採取兩個措施．
一是引導學生在回顧割圓術的過程中思考：為什麼用正多邊形計算圓的面積？為什麼讓邊數逐次加倍？怎樣才能「越來越接近」？通過以上幾個問題的討論使學生對割圓術的認識不僅僅停留在思想和方法層面，同時使學生對具體的操作程序有一定的認識．
二是讓學生課上討論，通過分析和比較各種方案優劣繁簡，為後面的具體操作奠定基礎．
本節課的另一個難點是對「極限」和「無限逼近」的理解．針對這個難點，教學中先分別採用圖形方式呈現逐漸細分和無限逼近的過程，再在此基礎上引出取極限的方法，使學生從感性認識上升到理性認識的過程水到渠成．再用幾何畫板呈現分割過程，夯實理論知識。 五、教學過程
為實現本節課的教學目標，突出重點，突破難點，根據「啟發性原則」和「循序漸進原則」，我把教學過程設計為「問題引入，明確主題；類比探究，形成方法；特例應用，細化操作；一般推廣，提煉本質」四個階段．
總之，曲邊梯形的面積這部分的教學，應使學生初步體會定積分的基本思想是從有限中認識無限、從近似中認識精確、從量變中認識質變的一種數學思想．本節課在教學設計和實施過程中，努力創設一個探索數學的學習環境，力求符合學生的認知規律，充分發揮學生的主體意識，使學生在探究問題的過程中，親身體驗數學概念形成的過程．
研討素材五
一、教學目標
1、理解並會初步應用求曲邊梯形面積的一般方法——「分割—近似代替—求和—取極限」； 2、 經歷求曲邊梯形面積的過程，體驗「以直代曲」和「無限逼近」的思想方法，感受數學中的轉化與化歸思想；
3、通過曲邊梯形的面積這一實例，了解定積分的幾何背景，藉助幾何直觀體會定積分的基本思想。
二、學情分析
學生在本節課之前已經具備的認知基礎有：
一是學生學習過通過割補的方法將不規則圖形轉化為若干規則圖形來計算面積；
二是學生學習過數列求和的基本知識，學生也在課後思考中見過這個結論；
三是學生雖然未學習過極限的有關知識，但通過導數的學習，對極限有了初步的認識。
學生在本節課學習中將會面臨兩個難點：
一是如何「以直代曲」，即學生如何將割圓術中「以直代曲，近似代替」的思想靈活地遷移到一般的曲邊梯形上．具體說來就是：如何選擇適當的直邊圖形（矩形、梯形）代替曲邊梯形，並使細分的過程程序化且便於操作和計算。
二是對「極限」和「無限逼近」的理解，即理解為什麼將直邊圖形面積和取極限正好是曲邊梯形面積的精確值。
三、教學重、難點
重點：探究求曲邊梯形面積的方法。
難點：把「以直代曲」的思想方法轉化為具體可操作的步驟，理解「無限逼近」的思想方法。 四、教學過程：
研討素材六
一、教材分析
課程定位：
定積分是一節重要的基礎理論課。通過本節課的學習，使學生獲得夠用的微積分、向量代數及空間解析幾何的基本知識、必要的基礎理論和常用的運算方法，為學習後續課程的學習和進一步擴展數學知識奠定必要的基礎。
地位作用：
本節課選自人教A版選秀2-2第一章第5節，定積分的概念是高中數學的重點，也是高等數學中最主要的經典理論。這節課上承導數、不定積分，下接定積分在幾何、物理等其他學科中的應用。
教學內容：
本節內容為定積分概念，主要包括三方面內容：兩個引例――曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程；定積分的定義及幾何意義；定積分的性質。
教學目標：
知識目標――通過探求曲邊梯形的面積，使學生了解「分割、近似、求和、取極限」的思想方法；
能力目標――通過類比「割圓術」，引導學生萌發「以直代曲」的想法，逐步培養學生的辨證思維能力和知識遷移的能力；
情感目標――從實踐中創設情境，滲透「化整為零零積整」的辨證唯物觀，培養學生的創新意識和科技服務於生活的人文精神。
二、教學方法
學情分析：
學生具備一定初等數學基礎知識，但學生的基礎不紮實。
教學方法：
數學課程對於高中學生來說，往往難度很大，教學時力求從學生已有知識和實際學習情況出發引入新課，啟發、誘導學生參與教學活動，提出問題、分析問題、解決問題，適當採用自學輔導法（閱讀教材）、通過以上方法的運用，讓學生掌握重點知識，突破難點，提高應用知識的能力。
教師特別要做到：
（1）在介紹數學概念的時候，力爭以實例引入，使概念儘可能不以嚴格「定義」的形式出現。
（2）在介紹基本定理的時候，儘可能地在通俗易懂的敘述中漸入主題，讓學生有一種「水到渠成」之感。
（3）在講解運算規則和規律時，用一些精簡易記的文字語言解讀數學公式，加強學生對數學公式涵義的理解。
三、設計理念
以問題為教學主線，本節課的教學終始以問題的解決為線索。這節課屬於概念教學，遵循概念教學的五流程：體驗概念、提煉概念、形成概念、鞏固概念和應用概念。分四個階段來實施：感知階段、理性認識階段、概況階段和應用階段。
設計這節課時，筆者重視學生的自主參與能力，重視學生探究能力和創新能力的培養，激勵學生積極思維，大膽思考，動手實踐。定積分的思想體現了量變到質變的觀點，以及數形結合等思想方法。教學中，要根據專業需要調整教學內容，讓學生感覺到數學有用，並力爭開發、運用多媒體教學，形象展示數學的魅力，激發學生學數學的興趣，提高學生「用數學」的能力。
四、教學設計
總體設計：
定積分的概念，以案例1「曲邊梯形的面積」為例引入課題，通過探究思考，跟學生一起解決問題並對結論歸納總結。對於案例2「變速直線運動的路程」，由學生類比案例1獨立完成。
對於案例1，為了突出重點，突破難點，達到教學目標，筆者準備從學生熟悉的求平面幾何的面積引入。之後給出一些不規則圖形，如湖泊的水面、小區的花壇等，讓學生考慮如何求面積，以此引出曲邊梯形的概念，這些不規則圖形的面積都可以看做兩個曲邊梯形面積之差。由於學生熟悉的曲邊圖形只有圓，所以從割圓術考慮。通過動畫演示，使學生體會以曲代直的思想方法。對於如何求曲邊梯形的面積，要考慮以下幾個問題：能否直接求出面積的準確值？用什麼圖形的面積來代替曲邊梯形的面積呢？三角形、矩形、梯形？鼓勵學生大膽設想，使用什麼方法，可使誤差越來越小，直到為零。等學生考慮之後，利用多媒體演示用一個、兩個、四個、無數個矩形的面積，來近似代替曲邊梯形的面積，讓學生感受以曲代直、無限逼近的漸變過程。通過這樣的動態演示，將區間的無限劃分這一抽象的極限思想具體化，學生也能夠更好地理解接受。
對於案例2「變速直線運動的路程」，由學生根據案例1的思想方法類比完成。之後共同分析兩個案例，拋去它們的實際意義從數學的角度研究，二者都是特殊的和式極限，並都能寫出模型。從思想方法上講，都是化整為零細劃分，不變代變得微分，積零為整微分和，無限累加得積分。從幾何的角度來看定積分的定義，給出它的幾何意義。注意說明代數和的含義及原因。再通過例題加深對幾何意義的理解。
利用幾何意義的直觀性介紹定積分的六條性質，使抽象的理論具體化。再利用定積分定義在黑板上加以證明，體現數學的嚴謹性，符合學生的思維和認識規律，有利於學生按節奏思考問題。之後提問學生，這些性質與不定積分的性質相比有何異同點。這樣讓新舊知識有機結合，使學生掌握的知識更加系統化。
（以上研討素材由網上搜索而來，版權歸原作者所有，所選素材大多來自國家教育資源公共服務平臺的部級優課，或全國青年數學教師優秀課的獲獎作品，由陽光備課整合，僅供各位老師參考。若喜歡該資源請向作者或出版者購買，摘錄、轉載，是想為經濟欠發達地區教師提高業務水平做點事，僅此而已，如有侵權，請聯繫刪除，謝謝！）
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