初中開學季,中考數學相似模型合集解析——一線三等角及變式模型

正相似形在中考中佔有極大的比重,它的考法又是千變萬化,對於學生來說,既是重點,又是難點.今天講解的是關於「一線三等角及變式模型"的一些基本結論,希望對學生的思維有一定的激發作用,給學生處理問題多一些途徑。

13 一線三等角

一、原理證明：

銳角型：

如圖，已知∠A=∠C=∠DBE，則△DAB∽△BCE（A

直角型：

如圖：∠B=∠D=∠ACE，則△ABC∽△CDE

鈍角型：

如圖：∠B=∠D=∠ACE，則△ABC∽△CDE

二、典型例題：

（1）如圖，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點，且BP＝1，D為AC上一點，若∠APD＝60°，則CD的長是（　　）

A、4/5 B、3/4 C、2/3 D、1/2

【解答】

解：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

又∵∠APD+∠DPC＝∠B+∠BAP，且∠APD＝60°，

∴∠BAP＝∠DPC，

∴△ABP∽△PCD，

∴BP/CD＝AB/PC，

∵AB＝BC＝3，BP＝1，

∴PC＝2，

∴1/CD＝3/2，

∴CD＝3/2．

故選：C．

（2）如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，連接AE，過點E作EF⊥AE交DC於點F．若AB＝4，BC＝6，則CF的長為（　　）．

A、9/4 B、√3 C、3/2 D、1

【解答】

解：∵E是BC的中點，BC＝6，

∴BE＝CE＝3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAE+∠BEA＝90°，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝90°，

∴∠BEA+∠CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

∴△ABE∽△ECF，

∴AB/EC＝BE/CF，即4/3＝3/CF，

解得CF＝9/4，

故選：A．

三、同步練習：

1.（2017春南山區期末）某學習小組在探究三角形全等時，發現了下面這種典型的基本圖形：

（1）如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．直線m經過點A，BD⊥直線m，CE直線m，垂足分別為點D、E．求證：DE＝BD+CE．

（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，並且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α為任意銳角或鈍角）．請問結論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）數學老師讚賞了他們的探索精神，並鼓勵他們運用這個知識來解決問題：

如圖3，F是∠BAC角平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，D、E分別是直線m上A點左右兩側的動點（D、E、A互不重合），在運動過程中線段DE的長度始終為n，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，則△DEF的周長是（）

（本題答案將在下期公布結果，如著急可以評論留言，姜姜老師也會第一時間回復）

14 一線三等角變式

一、原理證明：

如圖：

如圖：△ABC∽△BED

如圖：△ABC∽BCD

二、典型例題：

（1）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，點M在BC上，且BM：MC＝1：2，DE⊥AM於點E，求DE的長為　　．

【解答】

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，

∵BM：MC＝1：2，

∴BM＝1/3×9＝3，

在Rt△ABM中，

AM＝√AB+√BM＝√4+√3＝5，

∵DE⊥AM，

∴∠AED＝90°，

∴∠DAE+∠ADE＝90°，

∵∠BAM+∠DAE＝90°，

∴∠BAM＝∠ADE，

又∵∠B＝∠AED＝90°，

∴△ABM∽△DEA，

∴DE/AB=AD/AM，即DE/4=9/5，

∴DE＝36/5；

故答案為：36/5．

（2）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，E為AD中點，CF⊥BE，垂足為G，交BC邊於點F，則CF的長為　　．

【解答】

解：∵四邊形ABC都是矩形，

∴AD＝BC＝10，∠A＝∠CBF＝90°，

∵CF⊥BE，

∴∠CGB＝90°，

∴∠GCB+∠GBC＝90°，∠GBC+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠FCB，

∴△ABE∽△BCF，

∴AB/BC＝BE/CF，

在Rt△ABE中，∵AB＝12，AE＝5，

∴BE＝√5+√12＝13，

∴12/10＝13/CF，

∴CF＝65/6，

故答案為65/6．

三、同步練習：

如圖，矩形ABCD中，BE⊥AC於點F，E恰好是CD的中點，求證：BF＝AF．

【解答】

解：∵BE⊥AC，∠ABC＝∠AFB＝90°，

∴△CFB∽△BFA，△CFE∽△BFC．

∴BF＝FCAF，CF＝EFBF．

∴BF＝√EF√BFAF．

即BF3＝EFAF2．

∵AB∥CD，E恰好是CD的中點，

∴CE：AB＝EF：FB．

∴EF＝BF．

∴BF＝AF．

姜姜老師點評寄語

同學們在學習解答關於相似模型中遇到一線三等角及變式模問題時候，我們要使用從整體到局部分析的眼光看待問題，雖然看似不難，確是容易出錯，思路不清晰的一類題目。

相信同學們把姜姜老師整理的相似模型合集學習完以後再遇到這樣的問題就可以迎刃而解。

往期精彩內容：

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中考初中數學相似模型合集解析8-9——反射型及共享型模型

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