當你凝視夜空時，空間似乎向四面八方無限延伸。這是我們對宇宙的心理模型，但它不一定是正確的。畢竟，有一段時間，每個人都認為地球是平坦的，因為我們的星球的曲率太微妙以至於無法檢測到，而球形的地球卻是不可思議的。
今天，我們知道地球的形狀像一個球體。但是我們大多數人很少考慮宇宙的形狀。正如球體提供了一個平面地球的替代品，其他三維形狀也提供了「普通」無限空間的替代品。
關於宇宙的形狀，我們可以提出兩個相互獨立但又相互關聯的問題。一個是關於它的幾何形狀：對角度和面積等細節的局部測量。另一個是關於它的拓撲結構：如何將這些局部片段縫合在一起形成一個總體形狀。
宇宙學證據表明，我們能看到的那部分宇宙是平滑的。空間的局部結構在每個點和每個方向上看起來都是一樣的。只有三種幾何圖形符合這種描述：平面、球面和雙曲線。讓我們來探索這些幾何圖形，一些拓撲方面的考慮，以及宇宙學證據說明哪些形狀最能描述我們的宇宙。
平面幾何圖形
這是我們在學校學的幾何。三角形的內角和為180度，圓的面積為πr^2。平面三維形狀最簡單的例子是普通的無限空間——數學家們稱之為歐幾裡得空間——但也有其他的平面形狀需要考慮。
這些形狀很難想像，但是我們可以通過二維而不是三維來建立一些直覺。除了普通的歐幾裡得平面外，我們還可以通過切割平面的某些部分並將其邊緣粘在一起來創建其他平面形狀。例如，假設我們剪下一張長方形的紙，把它的對邊粘起來。在頂部和底部邊緣貼上膠帶，我們就得到了一個圓柱體：
接下來，我們可以把左右兩邊粘起來，得到一個「甜甜圈」(數學家們稱之為圓環面)：
現在，你可能會想，「這在我看來並不平坦。你是對的。我們在描述平面環面如何工作時做了一點手腳。如果你真的想用這種方法在一張紙上做出一個環面，你會遇到困難。製作圓柱體很容易，但是用膠帶綁住圓柱體的兩端是行不通的：紙會沿著環面的內圈被壓皺，而沿著外圈被拉長的距離也不夠。你得用一些有彈性的材料來代替紙。但是這種拉伸扭曲了長度和角度，改變了幾何形狀。
在普通的三維空間中，沒有辦法在不扭曲平面幾何形狀的情況下，用平面材料構建一個真實的、平滑的物理環面。但我們可以抽象地推斷出生活在平面環面上的感覺。
想像你是一個二維的生物，它的宇宙是一個平面的環面。因為這個宇宙的幾何結構來自於一張平面的紙，我們習慣的所有幾何事實都和平常一樣，至少在小範圍內是這樣的：三角形的內角和是180度，等等。但我們通過切割和粘貼對拓撲結構所做的改變意味著，生活在環面上的體驗將與我們過去習慣的感覺大不相同。
對於初學者來說，環面上有一些筆直的路徑可以繞一圈，然後回到它們開始的地方：
這些路徑在一個扭曲的環面上看起來是彎曲的，但是對於平面環面上的居民來說，他們感覺是直的。因為光是沿著直線傳播的，如果你直視這些方向中的一個，你會從後面看到你自己：
在最初的那張紙上，你看到的光好像是從你身後經過，直到它擊中左手邊，然後又出現在右手邊，就好像你在玩一個環繞式的電子遊戲：
同樣的思考方法是，如果你(或一束光)穿過四個邊中的一個，你會出現在一個新的「房間」裡，但實際上是同一個房間，只是從一個新的有利位置看過去。當你在這個宇宙中漫步時，你可以穿越到無數個你原來房間的複製品中。
這意味著你也可以從不同的方向看到無限多不同的自己。這是一種大廳的鏡子效果，除了你的複製品不是反射：
在'甜甜圈『0上，它們對應著許多不同的迴路，通過這些迴路，光可以從你身上回到你身上：
類似地，我們可以通過粘住立方體或其他盒子的相反面來構建一個平面的三維環面。我們不能把這個空間想像成普通無限空間中的一個物體——它根本就不適合——但我們可以抽象地推斷出它裡面的生命。
就像二維環面中的生命就像生活在一個由無數個相同的矩形房間組成的二維數組中一樣，三維環面中的生命就像生活在一個由無數個相同的立方房間組成的三維數組中一樣。你會看到無數個你自己的複製品：
三維環面只是10個不同的平面有限世界中的一個。也有平面的無限世界，如三維模擬的無限圓柱。在每個世界裡，都有不同的鏡廳陣列供您體驗。
我們的宇宙是這些其他扁平形狀之一嗎？
當我們向太空望去，我們看不到無數個我們自己的複製品。即便如此，要排除這些平面形狀還是相當困難的。首先，它們都具有與歐幾裡得空間相同的局部幾何性質，因此沒有任何局部測量可以區分它們。
如果你確實看到了自己的複製品，那麼那個遙遠的圖像就會顯示出你(或者你的星系)在遙遠過去的樣子，因為光線要經過很長時間才能到達你那裡。也許我們在那裡看到的是我們自己無法辨認的複製品。更糟糕的是，不同的自我通常會離你有不同的距離，所以他們中的大多數看起來都不一樣。也許它們離我們太遠了，我們根本看不見。
為了克服這些困難，天文學家們通常不是尋找我們自身的複製品，而是尋找我們所能看到的最遙遠事物的重複特徵：大爆炸後不久遺留下來的宇宙微波背景輻射(CMB)。在實踐中，這意味著在CMB中尋找具有匹配的熱點和冷點模式的圓對，這表明它們實際上是從兩個不同的方向看到的同一個圓。
2015年，天文學家利用普朗克太空望遠鏡的數據進行了這樣的研究。他們對數據進行了梳理，尋找我們期望在平面三維環面或另一種稱為平板的平面三維形狀中看到的相匹配的圓，但他們沒有找到。這意味著，如果我們生活在一個環面上，它可能是如此之大，以至於任何重複的模式都在可觀測的宇宙之外。
球面幾何學
我們都熟悉二維的球體——一個球的表面，或一個橘子的表面，或地球的表面。但我們的宇宙是一個三維球體意味著什麼呢？
很難想像一個三維球體，但是通過一個簡單的類比就可以很容易地定義一個。就像二維球體是所有點的集合與普通三維空間中某個中心點的固定距離一樣，三維球體是所有點的集合與四維空間中的某個中心點有著固定距離。
在三維空間裡的生活和在平面空間裡的生活感覺非常不同。為了感受一下，想像你是一個生活在二維球體中的二維生物。二維的球體就是整個宇宙——你無法看到或進入周圍的任何三維空間。在這個球形的宇宙中，光沿著最短的可能路徑傳播：大圓。對你來說，這些大圓圈就像直線。
現在想像一下，你和你的二維朋友在北極閒逛，你的朋友去散步。當你的朋友走開的時候，一開始他們在你的視野裡會越來越小，就像在我們平常的世界裡一樣(儘管他們不會像我們習慣的那樣迅速縮小)。這是因為隨著你的視野範圍的擴大，你的朋友所佔的比例越來越小：
但是一旦你的朋友越過赤道，奇怪的事情就發生了：他們離你越遠，就越看起來大。這是因為他們在你的視覺範圍內所佔的比例在增加：
當你的朋友離南極10英尺遠的時候，他們看起來和離你10英尺遠的時候一樣大：
當它們到達南極時，你可以從各個方向看到它們，所以它們填滿了你的整個視野：
如果南極沒有人，你的視野會變得更加陌生：看到你自己。那是因為從你身上發出的光會繞著球體轉一圈，直到它回到你身上。
這直接延續到三維球體中的生命。三球上的每個點都有一個相對的點，如果那裡有一個物體，我們會把它當作整個背景，就好像它是天空一樣。如果那裡什麼都沒有，我們就會把自己當作背景，就好像我們的外部被一個氣球所覆蓋，然後從裡到外膨脹成整個地平線。
雖然三球體是球面幾何的基本模型，但它並不是唯一的空間。就像我們從歐幾裡得空間中切出一大塊來構建不同的平面空間並將其粘合在一起一樣，我們也可以通過粘合三球體中合適的一塊來構建球形空間。與環面一樣，每一個粘在一起的形狀都有鏡面效果，但在這些球形形狀中，只有有限的房間可以通過。
我們的宇宙是球形的嗎？
即使是最自戀的人也不會把自己當成整個夜空的背景。但是就像平面環面一樣，僅僅因為我們沒有看到一個現象，並不意味著它不存在。球形宇宙的周長可能比可觀測宇宙的大小還大，使得背景太遠而看不見。
但與環面不同的是，球形宇宙可以通過純粹的局部測量來探測。球面形狀與無限歐幾裡德空間的區別不僅在於它們的全局拓撲結構，還在於它們的細粒度幾何結構。例如，因為球面幾何中的直線是大圓，所以三角形比歐幾裡得的三角形更「蓬鬆」，它們的角加起來超過180度：
事實上，測量宇宙三角形是宇宙學家檢驗宇宙是否彎曲的主要方法。對於宇宙微波背景中的每一個冷熱點，它的直徑和與地球的距離都是已知的，形成了一個三角形的三面。我們可以測量這個點在夜空中的角度——三角形的三個角之一。然後我們可以檢查邊長和角度的組合是否適合平面、球面或雙曲幾何(其中三角形的角度之和小於180度)。
大多數這樣的測試，連同其他的曲率測量，表明宇宙要麼是平坦的，要麼非常接近平坦。然而，一個研究團隊最近提出，普朗克空間望遠鏡2018年發布的某些數據指向的是一個球形宇宙，儘管其他研究人員反駁說，這一證據很可能是統計上的僥倖。
雙曲幾何
不像球體本身是向內彎曲的，雙曲幾何是向外張開的。它是由「鬆軟的帽子」、珊瑚礁和馬鞍組成的幾何圖形。雙曲幾何的基本模型是無限的空間，就像平坦的歐幾裡得空間。但是由於雙曲幾何比平面幾何向外擴張的速度快得多，所以即使是二維雙曲平面也無法在普通的歐幾裡得空間中擬合，除非我們願意扭曲它的幾何形狀。例如，這裡是一個被稱為龐加萊圓盤的雙曲平面的變形圖：
從我們的角度來看，邊界圓附近的三角形看起來比中心附近的小得多，但是從雙曲幾何的角度來看，所有的三角形大小都是一樣的。如果我們試圖使三角形大小相同,也許用有彈性的材料對我們的磁碟和膨脹每個三角形反過來,從中心向外工作——我們的磁碟將開始像軟盤帽扣越來越向外為我們工作。當我們接近邊界時，這種彎曲就會失去控制。
從雙曲幾何的角度來看，邊界圓與任何內點的距離都是無限遠的，因為你必須穿過無窮多個三角形才能到達那裡。雙曲平面向四面八方無限延伸，就像歐幾裡得平面一樣。但就局部幾何而言，雙曲平面中的生命與我們所習慣的非常不同。
在一般的歐幾裡得幾何中，圓的周長與半徑成正比，但在雙曲幾何中，圓周長與半徑成指數關係。我們可以看到，在雙曲圓盤邊界附近的大量三角形中存在指數堆積。
由於這個特性，數學家們常說在雙曲空間中很容易迷失方向。如果你的朋友在普通的歐幾裡得空間裡離你而去，他們會開始看起來更小，但很慢，因為你的視覺圈並沒有增長得那麼快。但在雙曲空間中，你的視覺圈呈指數級增長，所以你的朋友很快就會縮小成指數級的小點。如果你沒有仔細地跟蹤你朋友的路線，以後幾乎不可能找到他們。
在雙曲幾何中，三角形的內角和小於180度，例如，在我們的龐加萊圓盤的平鋪中，三角形的內角和為165度：
這些三角形的邊看起來不直，但那是因為我們通過一個扭曲的鏡頭來觀察雙曲幾何。對於居住在龐加萊圓盤上的人來說，這些曲線就是直線，因為從A點到B點最快的方式是走一條通向中心的捷徑：
有一種很自然的方法可以製作一個三維的龐加萊圓盤模型——簡單地製作一個三維球體，然後用三維形狀填充它，當它們接近邊界球體時，就會變小，就像龐加萊圓盤上的三角形一樣。就像平面幾何和球面幾何一樣，我們可以通過切割三維雙曲球的合適部分並將其表面粘合在一起，從而得到其他三維雙曲空間的組合。
我們的宇宙是雙曲線嗎？
雙曲幾何，以其狹窄的三角形和指數增長的圓圈，似乎不適合我們周圍空間的幾何形狀。事實上，正如我們已經看到的，到目前為止，大多數宇宙測量似乎都傾向於平坦的宇宙。
但我們不能排除我們生活在一個球形或雙曲線世界的可能性，因為這兩個世界的小塊看起來幾乎是平坦的。例如，在球面幾何中，小三角形的內角和僅略大於180度，而在雙曲幾何中，小三角形的內角和僅略小於180度。
這就是為什麼早期的人們認為地球是平的——在他們能夠觀察到的尺度上，地球的曲率太小而無法探測到。球形或雙曲線形狀越大，每個小塊平坦的，所以如果我們的宇宙是一個非常大的球形或雙曲線形狀，我們可以觀察到的部分可能是如此接近平面，以至於其曲率只能通過我們尚未發明的超精密儀器檢測。