第一章 函數極限與連續

考點梳理：

函數的概念及表示方法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性，複合函數、反函數、分段函數和隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，函數關係的建立，數列極限與函數極限的定義及其性質，函數的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關係，無窮小量的性質及無窮小量的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，並會求極限。

第一節：

1、函數的概念：

定義：設x,y是兩個變量，D是一個給定的數集。如果對於每個數x∈D，變量y按照一定的法則總有宇哥確定的數值y和它對應，則稱y是x的函數，記為：

y=f(x),x∈D

其中x成為自變量，y稱為因變量，D稱為函數的定義域，記作Df，即Df=D。

函數值f(x)的全體所構成的集合稱為函數f的至於，記作Rf或f(D)，即

Rf=f(D)={y|y=f(x),x∈D}

【注】 函數有兩個基本要素：定義域與對應規則（依賴關係）。當兩個函數的定義域與對應關係完全相同時，它們就是同一個函數。

2、複合函數定義：太基本的概念了，在這兒就先不說了

【注】 並不是所有的函數都可以符合，如：y=f(u)=lnu,u=g(x)=sinx-1，這是因為g的值域是[-2，0]，f的定義域是(0，+∞)，二者交集為空。

3、反函數定義：太基本的概念了，在這兒就先不說了

【注】 1.並不是每個函數都有反函數

2.單調函數一定有反函數，但是有反函數的函數並不一定單調

3.有時也將y=f(x)的反函數x=f^(-1)(y)寫成y=f^(-1)(x)

4.f^(-1)[f(x)]=x,f[f^(-1)(x)]=x

4.初等函數：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數及反三角函數統稱為基本初等函數，由常數和基本初等函數經過有限次運算與複合所得函數可以用一個式子表明的函數稱為初等函數。

函數的性質：單調性、奇偶性、周期性與有界性

【注】1.奇函數的圖形關於原點對稱，偶函數的圖形關於y軸對稱（做題要注重數學的對稱美）

2.奇（偶）+/-奇（偶）=奇（偶）函數；奇（偶）*奇（偶）=偶函數；積函數*積函數=偶函數

第二節

一、極限的概念：

1、數列極限的定義：

2、函數極限的定義：

二、極限的性質：

1、有界性：（數列與函數）

2、保號性：已知極限保數列/已知數列符號保極限

3、極限與無窮小之間的關係

三、極限的存在準則

夾逼準則：單調有界準則：四、無窮小量

無窮小量的概念無窮小的比較：高階-0；低階-∞；同階-C不等於0；等價-1；無窮小的階無窮小的性質：有限個無窮小的和仍然是無窮小有限個無窮小的積仍然是無窮小

無窮小量與有界量的積仍然是無窮小

五、無窮大量

無窮大量的概念無窮大的比較：當x趨向於+∞時：ln^(a)x<<x^b<<a^x其中 a>0,b>0,a>1無窮大量的性質：兩個無窮大量的積仍然為無窮大量無窮大量與有界變量之和仍為無窮大量無窮大量與無界變量的關係：無窮大量必為無界變量，而無界變量不一定是無窮大量。

求極限的方法：

利用基本極限求極限利用等價無窮小代換求極限（記住各種代換關係）利用有理運算法則求極限利用洛必達法則求極限利用泰勒公式求極限利用夾逼準則求極限（多用於n項和求極限）利用單調有界準則求極限利用定積分定義求極限

整章的思維導圖

當初我學數分的時候迷迷糊糊，考試怎麼過的都不知道，這樣把大體框架列出來就清楚很多了，當時我求極限只會一個洛必達，但是現在看洛必達的限制條件還是比較多的，當初怎麼就不會等價無窮小代換和泰勒公式呢，要不怎麼說不得到個九十分了，等價無窮小可以推廣，從乘除到加減，滿足條件就可以使用，如果需要知道的話可以留言或者評論一下，下次做一期單獨的求極限。

（第一遍複習，知識體系尚不完整，如有問題歡迎指出，今後會不斷完善）

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