定理3.2(唯一性)：若極限lim(x→x0)f(x)存在，則此極限是唯一的.
證：設A，B都是f當x→x0時的極限，則ε>0，分別有正數δ1與δ2，使
當0<|x-x0|<δ1時，有|f(x)-A|<ε/2；當0<|x-x0|<δ2時，有|f(x)-B|<ε/2.
取δ=min{δ1,δ2}，則當0<|x-x0|<δ時，|A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|<ε,
由ε的任意性，可知A=B. ∴lim(x→x0)f(x)存在時，此極限是唯一的。
定理3.3(局部有界性)：若lim(x→x0)f(x)存在，則f在x0的某空心鄰域U(x0)內有界.
證：設lim(x→x0)f(x)=A，取ε=1，則存在正數δ，使得對一切x∈U(x0;δ)有
|f(x)-A|<1=>|f(x)|<|A|+1. ∴lim(x→x0)f(x)存在時，f在U(x0;δ)內有界.
定理3.4(局部保號性)：若lim(x→x0)f(x)=A>0(或<0)，則對任何正數r<A(或r<-A)存在U(x0)有：f(x)>r>0(或f(x)<-r<0).
證：當lim(x→x0)f(x)=A>0時，對任何r∈(0,A)，取ε=A-r，則存在正數δ，
使得對一切x∈U(x0;δ)有f(x)>A-ε=r，∴f(x)>r>0.
當lim(x→x0)f(x)=A<0時，對任何-r∈(A,0)，取ε=-r-A，則存在正數δ，
使得對一切x∈U(x0;δ)有f(x)<A+ε=-r，∴f(x)<-r<0.
定理3.5(保不等式性)：若lim(x→x0)f(x)與lim(x→x0)g(x)都存在，且在某鄰域U(x0;δ』)內有：f(x)≤g(x)，則lim(x→x0)f(x)≤lim(x→x0)g(x).
證：設lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，則對ε>0，分別有正數δ1與δ2，使
當0<|x-x0|<δ1時，有A-ε/2<f(x)；當0<|x-x0|<δ2時，有g(x)<B+ε/2.
取δ=min{δ』,δ1,δ2}，則當0<|x-x0|<δ時，A-ε/2<f(x)≤g(x)<B+ε/2，從而有
A<B+ε. 由ε的任意性，可知A≤B. 即lim(x→x0)f(x)≤lim(x→x0)g(x).
注：當f(x)<g(x)時，仍有lim(x→x0)f(x)≤lim(x→x0)g(x).
反之，當lim(x→x0)f(x)<lim(x→x0)g(x)時，在某U(x0)內有f(x)<g(x).
定理3.6(迫斂性)：設lim(x→x0)f(x)=lim(x→x0)g(x)=A，且在某U(x0;δ』)內有：
f(x)≤h(x)≤g(x)，則lim(x→x0)h(x)=A.
證：∵lim(x→x0)f(x)=lim(x→x0)g(x)=A，
∴對ε>0，分別有正數δ1與δ2，使
當0<|x-x0|<δ1時，有A-ε<f(x)；當0<|x-x0|<δ2時，有g(x)<A+ε.
取δ=min{δ』,δ1,δ2}，則當0<|x-x0|<δ時，A-ε<f(x)≤h(x)≤g(x)< A+ε，從而有
|h(x)-A|<ε. ∴lim(x→x0)h(x)=A.
定理3.7(四則運算法則)：若極限lim(x→x0)f(x)與lim(x→x0)g(x)都存在，則函數f±g，f·g當x→x0時的極限也存在，且：
(1)lim(x→x0)[f(x)±g(x)]=lim(x→x0)f(x)±lim(x→x0)g(x)；
(2)lim(x→x0)[f(x)g(x)]=lim(x→x0)f(x)·lim(x→x0)g(x).
(3)當lim(x→x0)g(x)≠0時，f/g當x→x0時的極限也存在，且：
lim(x→x0) f(x)/g(x)=(lim(x→x0)f(x))/(lim(x→x0)g(x)).
證：設lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，則
對ε>0，分別有正數δ1與δ2，使
當0<|x-x0|<δ1時，有|f(x)-A|<ε，即A-ε<f(x)<A+ε；
當0<|x-x0|<δ2時，有|g(x)-B|<ε，即B-ε<g(x)<B+ε.
取δ=min{δ1,δ2}，則當0<|x-x0|<δ時：
(1)有A+B-2ε<f(x)+g(x)<A+B+2ε，A-B-2ε<f(x)-g(x)<A-B+2ε；
∴lim(x→x0)[f(x)±g(x)]=A±B=lim(x→x0)f(x)±lim(x→x0)g(x).
(2)|f(x)g(x)-AB|=|g(x)(f(x)-A)+A(g(x)-B)|
≤|g(x)||f(x)-A|+|A||g(x)-B|<(|g(x)|+|A|)ε
又|g(x)|-|B|≤|g(x)-B|<ε，即|g(x)|<ε+|B|，
∴|f(x)g(x)-AB|<(ε+|B|+|A|)ε；
∴lim(x→x0)[f(x)g(x)]=AB=lim(x→x0)f(x)·lim(x→x0)g(x).
(3)|f(x)/g(x)-A/B|=|(Bf(x)-Ag(x))/Bg(x)|=|(B(f(x)-A)-A(g(x)-B))/Bg(x)|
≤(|B||f(x)-A|+|A||g(x)-B|)/(|B||g(x)|)<((|B|+|A|)ε)/(|B||g(x)|).
又|B|-|g(x)|≤|g(x)-B|<ε，即|g(x)|> |B|-ε，
∴|f(x)/g(x)-A/B|<((|B|+|A|)ε)/(|B|||B|-ε|)；
∴lim(x→x0) f(x)/g(x)=A/B=(lim(x→x0)f(x))/(lim(x→x0)g(x)).
例1：求lim(x→0)x[1/x].
解：當x>0時，1-x<x[1/x]≤1；當x<0時，1≤x[1/x]<1-x.
∵lim(x→0)(1-x)=1，
由迫斂性得lim(x→0+)x[1/x]=lim(x→0-)x[1/x]=1；
∴lim(x→0)x[1/x]=1.
例2：求lim(x→π/4)(x tanx-1).
解：lim(x→π/4)(x tanx-1)=lim(x→π/4)(x sinx/cosx-1)
=lim(x→π/4)x·(lim(x→π/4)sinx)/(lim(x→π/4)cosx)-1=π/4-1.
例3：求lim(x→-1)(1/(x+1)-3/(x^3+1)).
解：當x+10時，
lim(x→-1)(1/(x+1)-3/(x^3+1))=lim(x→-1)((x+1)(x-2))/((x+1)(x^2-x+1))
=lim(x→-1)(x-2)/(x^2-x+1)=(-1-2)/((-1)^2-(-1)+1))=-1.
例4：證明lim(x→0)a^x=1(a>1).
證：ε>0，不妨設ε<1，為使|a^x-1|<ε，即1-ε<a^x<1+ε，
∵a>1，即log_a(1-ε)<x<log_a(1+ε).
只要令δ=min{log_a(1+ε),-log_a(1-ε)}，
則當0<|x|<δ時，就有|a^x-1|<ε，∴lim(x→0)a^x=1(a>1).