來源：新智元
42，可以寫成3個整數的立方和！這是數學界的一大突破，由MIT和布裡斯託大學的數學家共同發現，他們以「生命、宇宙以及一切」的網頁標題，公布了這一成果。
人類第一次將42寫成了3個整數的立方和！
昨天，有人在 MIT 數學系的網站上貼出一個等式，網頁很簡單，但沒給出結果：
(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3
等於 42！
在推特上，菲爾茲獎得主高爾斯也轉發了這個結果。
這是一個大新聞，因為至此，下面這句話成為了定理：
除了 9n±4 型自然數外，所有 100 以內的自然數都能寫成三個整數的立方和。
是的，在此之前，42是100以內最後一個尚未找到立方和的整數解的自然數。現在，這個解也找到了。
找到這個等式的數學家是來自布裡斯託大學的Andrew Booker和來自麻省理工學院的Andrew Sutherland。
Andrew Booker 是布裡斯託大學數學教授
Andrew Sutherland是MIT數學系首席研究科學家
今年3月， Andrew Booker 找到了33的立方和整數解，同樣引起數學界轟動。昨天，Andrew Booker穿著印有「42」的T恤接受採訪，解釋了他們的研究過程。
在被問到「你們解決這個問題後，有沒有興奮得跳起來」時，Booker說：「我這次倒是沒有跳起來，但是你知道，解決一個三、四十年來一直懸而未決的問題，實在是令人很滿足！當然，這個論題本身還沒有解決，下一個數字是114……」
有意思的是，兩位數學家公布這一結果的網頁標題是「生命、宇宙以及一切」(Life, the Universe and Everything)。
MIT的網頁截圖
在道格拉斯·亞當斯著名的《銀河系漫遊指南》系列中，42是「生命、宇宙以及一切的終極答案」。
茫茫宇宙中，一個 「具有超級智慧的泛維度種族」 對關於生命意義的無休止的爭論感到厭煩了，他們決定一勞永逸地解決這個問題。他們建造了宇宙一切空間和時間中第二強大的電腦 「沉思」，向它尋求 「關於生命、宇宙，以及一切的終極答案」。整整 750 萬年後，「沉思」 給出了答案 —42。
面對這個玄妙的答案，泛維度種族需要回過頭先弄明白生命宇宙以及一切的終極問題，方能理解答案。但 「沉思」 不能勝任此項艱巨的任務，它說：「你們需要一臺能夠計算出這個終極答案的電腦，這臺電腦具有無限和微妙的複雜性，以至於有機生命本身將會成為操作母體的一部分。你們自身也會以一種新的生命形式投入到這臺電腦中，去操控為期 1000 萬年的程序。我將會為你們設計出這臺電腦，並且我已為它取好名字。它將會被稱為…… 地球。」
痴迷、痴狂！人類尋找三立方數和簡史
人類為什麼對這樣一個等式如此著迷呢？
這個問題至少可以追溯到 1825 年，數學家想知道，如果給定整數 K，是否存在整數 X、Y、Z，滿足：
X^3 + Y^3 + Z^3 = K。
數論領域下有一大分支叫「丟番圖方程」：
x^3+y^3+z^3=k 是否存在整數解是丟番圖方程中的一個問題。
丟番圖 (Diophantine)是一位古希臘的大數學家，被認為是第一位懂得使用符號代表數來研究問題的人。
丟番圖和他的墓志銘
其中丟番圖最著名的事跡可能就是他的墓志銘 —— 曾經連續多年出現在各地中小學生的寒假作業擴展訓練上：
墳中安葬著丟番圖。多麼令人驚訝，它忠實地記錄了所經歷的道路。上帝給予的童年佔六分之一，又過十二分之一，兩頰長胡，再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭。五年之後天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。悲傷只有用數論的研究去彌補，又過四年，他也走完了人生的旅途。
回到丟番圖方程，由於立方數模 9 同餘 0、1 或 - 1，三立方數和模 9 不可能同餘 4 或 5，因而這是整數解存在的一個必要條件。因此9k+4或9k+5這種形式的整數不能寫成三個立方數之和。然而，對於該條件是否同時為充分條件目前仍未有定論。
1992年，牛津大學的Roger Heath-Brown提出猜想，即其它所有整數都可以用無窮多種不同的方式寫成三個立方體的和。在那以後，數學家們似乎已經被Heath-Brown的論點所說服，然而，找到把任何特定的數寫成三個立方體之和的方法仍然是一個難題。
2000年，哈佛大學的Noam Elkies提出了一個實用的算法來尋找這類解。Elkies和其他數學家使用類似的方法，成功地為許多較小的整數找到了立方和的整數解。
(https://arxiv.org/abs/math/0005139)
2015年，數學家Tim Browning錄製了一段視頻，解釋了這個問題。在那個時候，只有33、42和74這三個小於100的整數尚未找到解。這段視頻讓更多的人注意到了這個問題，並帶來了一系列的突破。
Tim Browning的視頻讓更多數學家關注這個問題
受到這段視頻的啟發，幾個月後，Sander Huisman找到了74的立方和整數解:
Tim Browning再次錄製了一段關於Huisman解決74的視頻。另一位數學家，即布裡斯託大學的Andrew Booker看到了這段視頻，決定解決這個問題。
他提出了一種新的算法，這種算法能更有效地找到一個特定數字的解。2019年2月27日，Booker公布了33的立方和整數解。
昨天，42也被解決了！Andrew Sutherland和Andrew Booker同時更新他們的主頁，報告了42的立方和的整數解：
這意味著100以內的自然數的立方和的整數解全部找到！
1000以內還沒找到解的整數隻剩下：114,165,390,579,627,633,732,906,921 和 975。
100 以內三立方和的非零解全表
最後，附上 100 以內三立方和的非零解全表（多種寫法選取其中一個）：
1 = (-1) + 1 + 1
2 = 7 + (-5) + (-6)
3 = 1 + 1 + 1
4 不可能
5 不可能
6 = (-1) + (-1) + 2
7 = 104 + 32 + (-105)
8 = (-1) + 1 + 2
9 = 217 + (-52) + (-216)
10 = 1 + 1 + 2
11 = (-2) + (-2) + 3
12 = 7 + 10 + (-11)
13 不可能
14 不可能
15 = (-1) + 2 + 2
16 = (-511) + (-1609) + 1626
17 = 1 + 2 + 2
18 = (-1) + (-2) + 3
19 = 19 + (-14) + (-16)
20 = 1 + (-2) + 3
21 = (-11) + (-14) + 16
22 不可能
23 不可能
24 = (-2901096694) + (-15550555555) + 15584139827
25 = (-1) + (-1) + 3
26 = 297 + 161 + (-312)
27 = (-1) + 1 + 3
28 = 14 + 13 + (-17)
29 = 1 + 1 + 3
30 = (-283059965) + (-2218888517) + 2220422932
31 不可能
32 不可能
33 = 8866128975287528 + (-8778405442862239) + (-2736111468807040)
34 = (-1) + 2 + 3
35 = 14 + (-8) + (-13)
36 = 1 + 2 + 3
37 = 50 + 37 + (-56)
38 = 1 + (-3) + 4
39 = 117367 + 134476 + (-159380)
40 不可能
41 不可能
42 = (-80538738812075974) + 80435758145817515 + 12602123297335631
43 = 2 + 2 + 3
44 = (-5) + (-7) + 8
45 = 2 + (-3) + 4
46 = (-2) + 3 + 3
47 = 6 + 7 + (-8)
48 = (-23) + (-26) + 31
49 不可能
50 不可能
51 = 602 + 659 + (-796)
52 = 23961292454 + 60702901317 + (-61922712865)
53 = (-1) + 3 + 3
54 = (-7) + (-11) + 12
55 = 1 + 3 + 3
56 = (-11) + (-21) + 22
57 = 1 + (-2) + 4
58 不可能
59 不可能
60 = (-1) + (-4) + 5
61 = 845 + 668 + (-966)
62 = 3 + 3 + 2
63 = 7 + (-4) + (-6)
64 = (-1) + 1 + 4
65 = 91 + 85 + (-111)
66 = 1 + 1 + 4
67 不可能
68 不可能
69 = 2 + (-4) + 5
70 = 11 + 20 + (-21)
71 = (-1) + 2 + 4
72 = 7 + 9 + (-10)
73 = 1 + 2 + 4
74 = (-284650292555885) + (66229832190556) + (283450105697727)
75 = 4381159 + 435203083 + (-435203231)
76 不可能
77 不可能
78 = 26 + 53 + (-55)
79 = (-19) + (-33) + 35
80 = 69241 + 103532 + (-112969)
81 = 10 + 17 + (-18)
82 = (-11) + (-11) + 14
83 = (-2) + 3 + 4
84 = (-8241191) + (-41531726) + 41639611
85 不可能
86 不可能
87 = (-1972) + (-4126) + 4271
88 = 3 + (-4) + 5
89 = 6 + 6 + (-7)
90 = (-1) + 3 + 4
91 = 364 + 192 + (-381)
92 = 1 + 3 + 4
93 = (-5) + (-5) + 7
94 不可能
95 不可能
96 = 10853 + 13139 + (-15250)
97 = (-1) + (-3) + 5
98 = 14 + 9 + (-15)
99 = 2 + 3 + 4
100 = 7 + (-3) + (-6)