原題
原題：如圖①，平面四邊形ABCD中，AB=AC=√2，AB⊥AC，AC⊥CD，E為BC的中點，將△ACD沿對角線AC折起，使CD⊥BC，連接BD，得到如圖②所示的三稜錐D-ABC。
⑴證明：平面ADE⊥平面BCD；
⑵已知直線DE與平面ABC所成角為π/4，求二面角A-BD-C的餘弦值。
這道題的第一問是求證兩個面垂直，一般對於求解面與面垂直時，我們都是根據轉化的思想，將其轉化成線與線垂直的形式來解決。
這道題的第二問是求立體幾何中求二面角餘弦值的題，對於這樣的題，我們一般都是使用向量的方法去求解，因為向量方法方便簡單易於理解，但是我們在求二面角餘弦值的時候不僅要會用向量的方法求解二面角，還要會使用三垂線的方法來求解，因為不是所有的題都可以使用向量來求解，使用向量的方法來求解也存在一定的弊端，即弱化我們空間想像的能力。
下面我們就解題的過程來說一說，使用三垂線的方法求二面角的具體步驟。
第一問
第一問是求證平面ADE⊥平面BCD。
對於求證面與面垂直，要將其轉化成線面垂直，然後再將線面垂直轉化成線線垂直的來證明。
因為AC⊥CD，CD⊥BC，且AC和AB是相交直線，所以CD⊥面ABC。
又因為AE∈面ABC，所以CD⊥AE；
因為AB⊥AC，且AB=AC，所以三角形ABC時等腰直角三角形，又因為E是BC上的點，所以AE⊥BC；
又因為CD和BC是相交直線，所以AE⊥面BCD。
因為AE∈面ABC，所以面ABC⊥面BCD.
第二問
第二問是二面角A-BD-C的餘弦值。
這道題可以使用向量的方法去求該二面角的餘弦值，也可以使用三垂線的方法求二面角的餘弦值。
但是在使用二面角求餘弦值的時候一般都是較容易找到三條直線兩兩垂直的直線來建立空間直角坐標系的形式來求解，但是一般沒有出現兩條或者兩條以上的直線分別垂直不同面的情況時，對於用向量方法求二面角就不是很適用，所以這就要求我們還要會常規的方法。
下面就介紹一下常規方法的一般步驟：
第一步，找到面ABD內的點到面BCD的垂線。
由第一問可知，AE⊥面BCD，且A點在面ABD上，所以AE就是面ABD內的點到面BCD上的垂線。
第二步，找到或作出面ABD和面BCD的夾角。
過垂足E點作面ABD和面BCD交線的垂線交於BD與F，連接AF，則∠AFE就是面ABD和面BCD的夾角。
第三步，求出該二面角的餘弦值。
要想求出該二面角的餘弦值，就要求出AF和EF的值，然後再根據cos∠AFE=EF/AF求出該二面角的餘弦值。
因為AB=AC=√2，AB⊥AC，所以在直角三角形CAB中根據勾股定理有BC=2，因為AE是三角形ABC上的中線，所以AE=1=CE=BE=1.
由第一問可知，CD⊥面ABC，直線DE與面ABC的所成的角為∠DEC，因為直線DE與面ABC所成角為π/4，則∠DEC=π/4.
所以在直角三角形DCE中，CE=CD，所以CD=1，在直角三角形DCB中，根據勾股定理有BD=√5.
又因為EF⊥BD，所以∠BFE=90=∠DCB，且∠EBF=∠DBC，所以△EBF∽△DBC，所以EF/CD=BE/BD，所以EF=BE·CD/BD=1×1/√5=√5/5.
在直角三角形AEF中，根據勾股定理有AF=√30/5，所以有cos∠AFE=EF/AF=√5/5/√30/5=√6/6.
總結
該題的第二問可以使用兩種方法：一種是使用向量的方法來求解，二種是使用三垂線的方法來求解。
在立體幾何中使用向量的方法求二面角的餘弦值，是會省去很多我們對空間的想像的時間，只需要建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，將有關的面中的直線寫成向量的形式，且均用坐標表示，就可以直接將空間面之間的結構轉化成了線與線之間的關係，簡化了立體模型，使我們不用糾結空間想像能力差了。
但是並不是所有的題都是可以使用空間向量來求解的，所以空間想像能力還是至關重要的，所以在我們能確保會使用向量方法求解二面角的同時，一些常規求二面角的方法也是要會的。
使用法向量求二面角，需要知道這點，否則得到的結果不一定正確
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