原題
原題：如圖①，在平行四邊形ABCD中，BD⊥CD，BE⊥AD，將△ABD沿對角線BD折起，使AB⊥BC，連接AC，EC，得到如圖②所示的三稜錐A-BCD。
⑴證明：BE⊥平面ADC；
⑵若ED=1，二面角C-BE-D的平面角的正切值為√6，求直線BD與平面ADC所成角的正弦值。
該題分為兩個小問，第一個小問雖然看起是簡單的線面垂直的證明，但實際上該小問需要證明兩個線面垂直才能證出最後的線面垂直，這樣的證明也會導致很多同學找不到證明的源頭，像這樣的題最好還是要從已知向結論和由結論向已知進行雙向推導來證明。
而第二小問是考察了對給出的二面角的平面角的理解，需要注意的是二面角不是平面角，二面角是由兩個平面組成，其角的範圍是0~180度，而平面角卻是由兩條射線組成，其範圍是0~360度，所以該二面角的平面角是以該二面角的公共直線上任意一點為端點，在兩個平面內分別作垂直於公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做二面角的平面角。
那理解了該二面角的平面角的意義後，又給出二面角的平面角的正切值又得出什麼樣的結論呢？下面就在解答過程中來詳細說明。
第一問
第一問是證明BE⊥平面ADC，要想證明BE⊥平面ADC只需要證明BE與AD和CD這兩個相交直線垂直即可，因為BE⊥AD，所以只需要證明BE⊥CD即可，要想證明BE⊥CD，需要證明CD⊥平面ABD，要想證明CD⊥面ABD，需要證明CD垂直直線BD和AB這兩條交線，因為CD⊥BD，所以只需要證明CD⊥AB即可，要想證明CD⊥AB，需要證明AB⊥面BDC，要想證明AB⊥面BDC，需要證明AB垂直BC和BD這兩個交線，因為AB⊥BC，又因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥DC，所以有∠BDC=∠ABD=90度，所以AB⊥BD，所以有BE⊥平面ADC。
具體做法如下：
因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥DC，所以有∠BDC=∠ABD=90度，所以AB⊥BD；
又因為AB⊥BC，且BD和BC是相交直線，所以AB⊥面BDC。
因為CD∈面BDC，所以AB⊥CD；
又因為CD⊥BD，且AB和BD是相交直線，所以CD⊥面ABD。
因為BE∈面ABD，所以CD⊥BE；
又因為BE⊥AD，且AD和CD是相交直線，所以BE⊥面ADC。
第二問
第二問是要求直線BD和平面ADC所成角的正弦值，對於求線面角的正弦值，一般是用向量的方法求解，而該直線的向量和該面的法向量的夾角的餘弦值的絕對值就是該線面角的正弦值，前面有詳細的講解在此不多說明，詳細可見如圖△CDE重心為G，咋確定G點求出AG與面ABCD夾角正弦值？須知這些
使用向量的方法求空間幾何線面角的正弦值，要有以下的步驟：第一，建立空間直角坐標系；第二，求出各點坐標；第三，求出該直線的向量和該平面的法向量；第四，根據向量的乘積求出兩個向量夾角的餘弦值；第五，求出該線面角的正弦值。
第一，建立空間直角坐標系。
建立空間直角坐標系要先找到三條直線兩兩垂直的情況。
由第一問證明得到CD⊥AB⊥BD，所以直線CD、AB和直線BD是兩兩垂直的，所以過D點做DF∥AB，則直線DF⊥CD⊥BD。
則以D點為圓心，以向量DB為x軸，以向量DC為y軸，以向量DF為z軸，建立空間直角坐標系。
如圖：
第二步，求出各點坐標。
因為以D為原點，所以D(0,0,0)；
這裡我們發現除了ED=1和二面角C-BE-D的平面角的正切值為√6，再沒有給出其他邊的值，所以要想得出各邊的值，就要從「二面角C-BE-D的平面角的正切值為√6」入手。
由第一問得知，BE⊥面ADC，且EC在面ADC內，所以BE⊥EC；因為BE⊥AD，所以BE⊥DE，且DE和EC分別是面BDE和面BEC內的直線，BE是這兩個面的公共線，所以∠DEC就是二面角C-BE-D的平面角，所以tan∠DEC=√6.
因為CD⊥面ABD，且AD在面ABD內，所以CD⊥AD，即∠CDE=90度，所以tan∠DEC=CD/DE=√6，因為DE=1，所有CD=√6.
所以C點的坐標為(0,√6,0)；
在平行四邊形ABCD中，∠ADB=∠DBC，∠BED=∠BDC=90度，所以△DEB∽△BDC，則DE/BD=BD/CB。
設BD=m(m>0)，則CB=√(m^2+6)，故1/m=m/√(m^2+6)，解得m=√3，所以BD=√3，BC=3，所以B點坐標為(√3,0,0)；
因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=CD=√6，所以A點坐標為(√3,0,√6)。
第三步，求出直線BD的向量和面ADC的法向量。
向量DB=(√3,0,0)－(0,0,0)=(√3,0,0)；
向量DA=(√3,0,√6)－(0,0,0)=(√3,0,√6)，向量DC=(0,√6,0)－(0,0,0)=(0,√6,0)，設面ADC的法向量為n=(x,y,z)，則有向量n·向量DA=0，向量n·向量DC=0，即√3x+√6z=0，√6y=0，令z=－√6，得到向量n=(2√3,0,－√6)。
第四步，求出這兩個向量的夾角餘弦值。
設向量DB和向量n的夾角為φ，則cosφ=向量DB·向量n/|向量DB|·|向量n|=√6/3.
第五步，求出BD和面ADC的夾角正弦值。
設BD和面ADC的夾角θ，則sinθ=|cosφ|=√6/3.
總結
該題需要注意的是二面角的平面角具體的定義，要以後做題的過程中，不要將這個概念混淆，很多時候題中的一個信息出現錯誤，都會導致這個題出現錯誤。
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