整數中，能被2整除的數是偶數，反之是奇數，偶數可用2k表示 ，奇數可用2k+1表示，這裡k是整數.
關於奇數和偶數，有下面的性質：
（1）奇數不會同時是偶數；兩個連續整數中必是一個奇數一個偶數；
（2）奇數個奇數和是奇數；偶數個奇數的和是偶數；任意多個偶數的和是偶數；
（3）兩個奇（偶）數的差是偶數；一個偶數與一個奇數的差是奇數；
（4）若a、b為整數，則a+b與a-b有相同的奇數偶；
（5）n個奇數的乘積是奇數，n個偶數的乘積是2n的倍數；順式中有一個是偶數，則乘積是偶數.
以上性質簡單明了，解題時如果能巧妙應用，常常可以出奇制勝.
1.代數式中的奇偶問題
例1（第2屆「華羅庚金杯」決賽題）下列每個算式中，最少有一個奇數，一個偶數，那麼這12個整數中，至少有幾個偶數？
□+□=□， □-□=□，
□×□＝□ □÷□＝□.
解 因為加法和減法算式中至少各有一個偶數，乘法和除法算式中至少各有二個偶數，故這12個整數中至少有六個偶數.
例2 （第1屆「祖衝之杯」數學邀請賽）已知n是偶數，m是奇數，方程組
是整數，那麼
（A）p、q都是偶數. （B）p、q都是奇數.
（C）p是偶數，q是奇數 （D）p是奇數，q是偶數
分析 由於1988y是偶數，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶數，將其代入第二方程中，於是11x也為偶數，從而27y=m-11x為奇數，所以是y=q奇數，應選（C）
例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一個正號和負號，它們的代數和是奇數還是偶數.
分析 因為兩個整數之和與這兩個整數之差的奇偶性相同，所以在題設數字前面都添上正號和負號不改變其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993為偶數 於是題設的代數和應為偶數.
2.與整除有關的問題
例4（首屆「華羅庚金杯」決賽題）70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的3倍都恰好等於它兩邊兩個數的和，這一行最左邊的幾個數是這樣的：0，1，3，8，21，….問最右邊的一個數被6除餘幾？
解 設70個數依次為a1,a2,a3據題意有
a1=0, 偶
a2=1 奇
a3=3a2-a1, 奇
a4=3a3-a2, 偶
a5=3a4-a3, 奇
a6=3a5-a4, 奇
………………
由此可知：
當n被3除餘1時，an是偶數；
當n被3除餘0時，或餘2時，an是奇數，顯然a70是3k+1型偶數，所以k必須是奇數，令k=2n+1，則
a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.
解 設十位數，五個奇數位數字之和為a，五個偶數位之和為b(10≤a≤35,10≤b≤35)，則a+b=45，又十位數能被11整除，則a-b應為0，11，22（為什麼？）.由於a+b與a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.
要排最大的十位數，妨先排出前四位數9876，由於偶數位五個數字之和是17，現在8+6=14，偶數位其它三個數字之和只能是17-14=3，這三個數字只能是2，1，0.
故所求的十位數是9876524130.
例6（1990年日本高考數學試題）設a、b是自然數，且有關係式
123456789=（11111+a）（11111-b）， ①
證明a-b是4的倍數.
證明 由①式可知
11111（a-b）=ab+4×617 ②
∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0
首先，易知a-b是偶數，否則11111(a-b)是奇數，從而知ab是奇數，進而知a、b都是奇數，可知(11111+a)及(11111-b)都為偶數，這與式①矛盾
其次，從a-b是偶數，根據②可知ab是偶數，進而易知a、b皆為偶數，從而ab+4×617是4的倍數，由②知a-b是4的倍數.
3.圖表中奇與偶
例7（第10屆全俄中學生數學競賽試題）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填「+」或「-」的符號，然後每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問重複若干次這樣的「變號」程序後，能否從一張表變化為另一張表.
解 按題設程序，這是不可能做到的，考察下面填法：
在黑板所示的2×2的正方形表格中，按題設程序「變號」，「+」號或者不變，或者變成兩個.
表(a)中小正方形有四個「+」號，實施變號步驟後，「+」的個數仍是偶數；但表(b)中小正方形「+」號的個數仍是奇數，故它不能從一個變化到另一個.
顯然，小正方形互變無法實現，3×3的大正方形的互變，更無法實現.
例8（第36屆美國中學生數學競賽試題）將奇正數1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，從左數起是第幾列？（此處無表）
解 由表格可知，每行有四個正奇數，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一個數，又奇數行的第一個數位於第二列，偶數行的第一個數位於第四列，所以從左數起，1985在第二列.
例9 如圖3-1，設線段AB的兩個端點中，一個是紅點，一個是綠點，在線段中插入n個分點，把AB分成n+1個不重疊的小線段，如果這些小線段的兩個端點一個為紅點而另一個為綠點的話，則稱它為標準線段.
證明 不論分點如何選取，標準線段的條路總是奇數.
分析 n個分點的位置無關緊要，感興趣的只是紅點還是綠點，現用A、B分別表示紅、綠點；
不難看出：分點每改變一次字母就得到一條標準線段，並且從A點開始，每連續改變兩次又回到A，現在最後一個字母是B，故共改變了奇數次，所以標準線段的條數必為奇數.
4.有趣的應用題
例 10（第2屆「從小愛數學」賽題）圖3-2是某一個淺湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸.
（1）如果P點在岸上，那麼A點在岸上還是在水中？
（2）某人過這湖泊，他下水時脫鞋，上岸時穿鞋.如果有一點B，他脫鞋垢次數與穿鞋的次數和是個奇數，那麼B點是在岸上還是在水中？說明理由.
解 （1）連結AP，顯然與曲線的交點數是個奇數，因而A點必在水中.
（2）從水中經過一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數和為2，由於 A點在水中，氫不管怎樣走，走在水中時，脫鞋、穿鞋的次數的和總是偶數，可見B點必在岸上.
例11 書店有單價為10分，15分，25分，40分的四種賀年片，小華花了幾張一元錢，正好買了30張，其中某兩種各5張，另兩種各10張，問小華買賀年片花去多少錢？
分析 設買的賀年片分別為a、b、c、d（張），用去k張1元的人民幣，依題意有
10a+15b+25c+40d=100k,(k為正整數)
即 2a+3b+5c+8d=20k
顯然b、c有相同的奇偶性.
若同為偶數，b-c=10 和a=b=5，不是整數；
若同為奇數，b=c=5和a=d=10,k=7.
例12 一個矩形展覽廳被縱橫垂直相交的牆壁隔成若干行、若干列的小矩形展覽室，每相鄰兩室間都有若干方形門或圓形門相通，僅在進出展覽廳的出入口處有若干門與廳外相通，試證明：任何一個參觀者選擇任何路線任意參觀若干個展覽室（可重複）之後回到廳外，他經過的方形門的次數與圓形門的次數（重複經過的重複計算）之差總是偶數.
證明 給出入口處展覽室記「+」號，凡與「+」相鄰的展覽室記「-」號，凡與「-」號相鄰的展覽室都記「+」號，如此則相鄰兩室的「+」、「-」號都不同.
一參觀者從出入口處的「+」號室進入廳內，走過若干個展覽室又回到入口處的「+」號室，他的路線是+-+-…+-+-，即從「+」號室起到「+」號室止，中間「-」、「+」號室為n+1（重複經過的重複計算），即共走了2n+1室，於是參觀者從廳外進去參觀後又回到廳外共走過了2n+2個門（包括進出出入口門各1次）.設其經過的方形門的次數是r次，經過圓形門的次數是s，則s+r=2n+2為偶數，故r-s也為偶數，所以命題結論成立.
例13 有一無窮小數A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中ai(i=1,2)是數字，並且a1是奇數，a2是偶數，a3等於a1+a2的個位數…，an+2是an+an+1(n=1,2…,)的個位數，證明A是有理數.
證明 為證明A是有理數，只要證明A是循環小數即可，由題意知無窮小數A的每一個數字是由這個數字的前面的兩位數字決定的，若某兩個數字ab重複出現了，即0.…ab…ab…此小數就開始循環.
而無窮小數A的各位數字有如下的奇偶性規律：
A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……
又a是奇數可取1，3，5，7，9；
b是偶數可取0，2，4，6，8.
所以非負有序實數對一共只有25個是不相同的，在構成A的前25個奇偶數組中，至少出現兩組是完全相同的，這就證得A是一循環小數，即A是有理數.
練 習 三
1.填空題
（1）有四個互不相等的自然數，最大數與最小數的差等於4，最大數與最小數的積是一個奇數，而這四個數的和是最小的兩位奇數，那麼這四個數的乘積是______.
（2）有五個連續偶數，已知第三個數比第一個數與第五個數和的多18，這五個偶數之和是____.
（3）能否把1993部電話中的每一部與其它5部電話相連結？
答____.
2.選擇題
（1）設a、b都是整數，下列命題正確的個數是（ ）
①若a+5b是偶數，則a-3b是偶數；
②若a+5b是偶數，則a-3b是奇數；
③若a+5b是奇數，則a-3b是奇數；
④若a+5b是奇數，則a-3b是偶數.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（2）若n是大於1的整數，則的值（ ）.
（A）一定是偶數 （B）必然是非零偶數
（C）是偶數但不是2 （D）可以是偶數，也可以是奇數
（3）已知關於x的二次三項式ax2+bx+c（a、b、c為整數），如果當x=0與x=1時，二次三項式的值都是奇數，那麼a（ ）
（A）不能確定奇數還是偶數 （B）必然是非零偶數
（C）必然是奇數 （D）必然是零
3.（1986年宿州競賽題）試證明11986+91986+81986+61986是一個偶數.
4.請用0到9十個不同的數字組成一個能被11整除的最小十位數.
5.有n 個整數，共積為n，和為零，求證：數n能被4整除
6.在一個凸n邊形內，任意給出有限個點，在這些點之間以及這些點與凸n邊形頂點之間，用線段連續起來，要使這些線段互不相交，而且把原凸n邊形分為只朋角形的小塊，試證這種小三我有形的個數與n有相同的奇偶性.
7.（1983年福建競賽題）一個四位數是奇數，它的首位數字淚地其餘各位數字，而第二位數字大於其它各位數字，第三位數字等於首末兩位數字的和的兩倍，求這四位數.
8.（1909年匈牙利競賽題）試證：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次冪整除.
9.（全俄15屆中學生數學競賽題）在1，2，3…，1989之間填上「+」或「-」號，求和式可以得到最小的非負數是多少？
練習三
１．（１）３０．（最小兩位奇數是１１，最大數與最小數同為奇數）
（２）１８０．設第一個偶數為ｘ，則後面四個衣次為ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．
（３）不能．
２．Ｂ．Ｂ．Ａ
３．１１９８６是奇數１，９１９８６的個位數字是奇數１，而８１９８６，６１９８６都是偶數，故最後為偶數．
４．仿例５ １２０３４６５８７９．
５．設ａ１，ａ２，…，ａｎ滿足題設即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０ ①
ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ ②。假如ｎ為奇數，由②，所有ａｉ皆為奇數，但奇數個奇數之和為奇數，故這時①不成立，可見ｎ只能為偶數．由於ｎ為偶數，由②知ａｉ中必有一個偶數，由①知ａｉ中必有另一個偶數．於是ａｉ中必有兩個偶數，因而由②知ｎ必能被４整除．
６．設小三角形的個數為ｋ，則ｋ個小三角形共有３ｋ條邊，減去ｎ邊形的ｎ條邊及重複計算的邊數扣共有（３ｋ＋ｎ）條線段，顯然只有當ｋ與ｎ有相同的奇偶性時，（３ｋ－ｎ）才是整數．
７．設這個四位數是由於１≤ａ＜ｄ，ｄ是奇數所以ｄ≥３於是ｃ＝２（ａ＋ｄ）≥８，即ｃ＝８或ｃ＝９．因ｃ是偶數，所以ｃ＝８，由此得ａ＝１，ｄ＝３．又因ｂ＞ｃ，所以ｂ＝９因此該數為１９８３．
８．當ｎ為奇數時，考慮（４－１）ｎ＋１的展開式；當ｎ為偶數時，考慮（２＋１）ｎ＋１的展開式．
９．除９９５外，可將１，２，…，１９８９所有數分為９９４對：（１，１９８９）（２，１９８８）…（９９４，９９６）每對數中兩個數的奇偶性相同，所以在每對數前無論放置「＋」，「－」號，運算結果只能是偶數．而９９５為奇數，所以數１，２，…，１９８９的總值是奇數，於是所求的最小非負數不小於１，數１可用下列方式求得：
１＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７－８＋９）＋…＋（１９８６－１９８７－１９８８＋１９８９）．