單片機浮點數的實用快速除法介紹

作為單片機程式設計師來說，在編寫程序時經常要檢驗程序中的浮點數運算結果是否正確，但手中又沒有合適的檢驗工具，非常麻煩。而一般單片機是沒有浮點數運算指令的，必須自行編制相應軟體。在進行除法計算時，通常使用的方法是比較除法，即利用循環移位和減法操作來得到24～32位商，效率很低。這裡給出一種浮點數除法運算的實用快速算法。該方法以數值計算中的預估-修正方法為指導，充分利用了16位單片機的乘除法功能，很輕易地實現了浮點數的除法。

　　1 浮點數格式

　　IEEE的浮點數標準規定了單精度（4位元組）、雙精度（8位元組）和擴展精度（10位元組）三種浮點數的格式。最常用的是單精度浮點數，格式如圖1所示。但是這種格式的階碼不在同一個字節單元內，不易尋址，從而會影響運算速度。

　　通常在單片機上採用的是一種變形格式的浮點數，如圖2所示。其中的23位尾數加上隱含的最高位1，構成一個定點原碼小數，即尾數為小於1大於等於0.5的小數。

　　2 快速除法的算法原理

　　在16位單片機中只有16位的乘除法，而浮點數的精度（即尾數的有效位數）達24位，因此無法直接相除，但依然可以利用16位的乘除法指令來實現24位除法。不過，如果只進行一次16位的除法必定會帶來很大誤差，因此問題的關鍵在於如何消除這個誤差，從而達到要求的精度。這其實就是通常數值計算中所採用的預估-修正方法。

　　假設兩個浮點數經過預處理後，被除數和除數尾數擴展為32位（末8位為0）分別放入X和Y中。鄰YL為Y的低16位，並記YH=Y-YL。顯然YH≈Y，X/Y與Y/YH相差不多：

　　可見只需要在X/YH的基礎上再乘以一個修正因子（YH-YL）/YH，就可以得到X/Y的一次校準值。不難證明這個值已經達到了24位的精度要求。事實上，相對誤差滿足：

　　這說明這個一次校準值完全可以作為最終的結果。

　　3 算法的具體實現

　　在具體實現本算法時，主要經過下列步驟：

　　這裡的YH雖仍是32位，但其低16位已為0，計算時可以將它視為16位數，這不會影響計算精度。通過兩次16位除法，就可得到精確的32位結果。例如，計算Q0時，第一次除法，X除以YH的高16位，得到的商為Q0的高16位，而16位餘數末尾添0成32位，再除以YH的高16位，得到Q0的低16位（餘數捨去）。由此得到了32位的Q0。

　　在具體運算中，X應選除以4（X左移2位），以保證Q0不會溢出（YH取高16位）：

　　

　　由於X為32位（末8位為0），這一操作不影響有效數字。而，不存在溢出的問題。最後計算校準值Q時，有。

　　在計算Q0'、Q1時，均進行了兩次16位除法，使得Q0'、Q1均為精確的32位，保證了計算過程中的精度，減小了累積誤差。對於YL=0即除數只有16位有效數字的特殊情況，直接有Q1=1，還能省去兩次16位除法。

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