微積分基本定理的含義

2021-01-08 小朱與數學

假設F(x)的導數為f(x)，那麼稱F(x)是f(x)的原函數。微積分基本定理的可表示為

函數的定積分的值等於原函數在積分區間端點處的函數值之差。直接看到公式，可能不能很直觀地理解其含義。假如我們把x當作時間、f(x)當成隨著時間變化的速度，函數f(x)的定積分就是曲邊梯形的面積，代表整個區間內的位移，也就是位移函數F(x)在兩個時間點的函數值之差。

根據定積分的定義，我們知道求解定積分需要分割、近似、求和、取極限四個步驟，求解過程複雜，有些函數甚至難以利用定義來求定積分。但是微積分基本定理給出了另一種求解定積分的途徑，那就是尋找函數的原函數，假如已知函數的原函數，那麼定積分就很容易求解了。求解函數的原函數其實是求導的逆運算，因此我們需要牢記一些基本初等函數的導數，反過來就可得到初等函數的原函數。

微積分基本定理又叫做牛頓-萊布尼茲公式，是微積分中最核心的成果。以它作為基礎，我們可以推出更多有意思的結論，是整個的微積分體系必不可少的內容。

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