從一元微積分基本定理出發得到矩形下的格林公式

2020-12-18 電子通信和數學

格林定理的解釋和說明有很多，今天我們從一種很少見的方式出發，來得到格林定理

我們從微積分基本定理出發，我們可以把它寫成這種形式，如下

兩個變量中相應的表達式由兩個變量函數的偏導數在矩形上的二重積分組成。具體來說，考慮這個矩形

令q(x, y)∈包含矩形r的域中：我們得到

我們首先沿著每條水平線y = t積分，得到關於t的函數

對於一個固定的t值，qx(x, t)的偏導數可化為函數f(x) = q(x, t)關於x的普通導數，由式(25.1)可知，

我們得到

以完全相同的方式，p/y，其中p(x, y)∈R,我們同樣會得到：

通過觀察（25.3）和（25.4）的右側實際上是矩形R邊界的一部分上的線積分，R的邊界可以被描述為分段光滑曲線C組成的四個線段(圖25.5)

注意這些線段是有方向的，這樣在連續環繞了一圈，它們就形成了閉合曲線C，從(a, C)處開始，到(a, C)處結束，現在(25.3)的右邊由兩個∫q dy的線積分組成，它們是R的兩個垂直邊，而且方向相反

因為在水平側C1和C3上有dy /dt=0

由此可見

以同樣的方式，我們有

觀察C1和C3的方向，我們可以把(25.4)寫成這種形式

綜合上述的結論，得到矩形形式下的格林公式

由此得到

上述的形式正好可以寫成如下形式

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