舉一反三:勾股定理在分類討論中的運用

2020-12-12 同心圓數學世界

#初中數學學習#

01特別說明

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02關於勾股定理

我們都知道，勾股定理是數學史上一個非常重要的定理。它的內容是：直角三角形中兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。勾股定理幾何可以用於所有幾何圖形中，用於解決求圖形的邊長問題。注意重點：求邊長。

03勾股定理的適用規則

我們在遇到求圖形的邊長的問題的時候，一定要看所給的線段長是否是在直角三角形中，或者是否可以轉化成直角三角形的相應的邊長，然後通過判斷相關線段的長，實現問題的解決。

當然，遇到一個題目，所組的已知條件是角度，所要求的未知數量也是角度，這樣的問題你就不要去思考用勾股定理了。

04勾股定理為什麼會與分類討論「牽手」

今天給大家介紹的知識點，是在使用勾股定理時，需要進行分類討論的情況。

初中幾何中，經常可以碰到類似的實踐操作題：所給定的題目條件中，並沒有明確給出相應條件（主要是邊長）的具體類型，或者是具體的屬性，題目又涉及到與邊的長度有關的計算問題，這個時候就需要構造直角三角形，用分類思想對題目進行討論。

也許大家對以上偏理論的東西不感興趣，我們還是結合下面的幾道學生反映出來的易錯題目來解析一下吧。

05學習建議

建議對下面內容的學習方式是：先看題目，然後請你獨立完成，形成自己解決這個問題的方法，然後再與題目核對答案，如果答案一致，再閱讀解析過程，對比所給參考答案是否與你自己的思路相同，不同，則可以又學習一種新的思考方法哦。如果你實在不能獨立完成，那麼就只有全文直接閱讀了哦。

06易錯題例析

如圖，在一張長為9cm，寬為8cm的矩形紙片上，現要剪下一個腰長為5cm的鈍角等腰三角形，則剪下的鈍角等腰三角形腰上的高為___cm.

(要求：鈍角等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其餘兩個頂點在矩形的邊上)

07思路解析

一、關於審題：本題的題幹中並沒有對要所剪的等腰三角形作出要求上的規定，而且題幹除了不知道應該如何來剪這個鈍角等腰三角形外，並無難以理解的字詞。但在要求部分，出現了「鈍角等腰三角形的一個頂點」，對於這個「頂點」，粗心的同學常理解為等腰三角形「頂角」所在的「點」，然後對後面的內容不加以詳細的閱讀，從而造成對本題理解上的一些困難，最終導致有的同學認為題目錯了，自己無法完成的情況。一方面，要注意，任何一個三角形都有三個頂點；另一方面，只要認真讀題，「其餘兩個頂點在矩形的邊上」中的「其餘兩個頂點」，不理正好強調了三個都是頂點麼。

二、關於思路：鈍角等腰三角形，三個頂點，一個頂點與矩形的一個頂點重合。這幾個信息就成了解題的第一關鍵信息。

⑴通過對「鈍角等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其餘兩個頂點在矩形的邊上」的分析，我們很容易發現：鈍角所在的頂點，不可能與矩形的一個頂點重合；

所以我們只需要考慮：鈍角等腰三角形兩底角所對應的項點與矩形的一個頂點重合。

⑵在⑴的基礎上，我們結合矩形中的長與寬一般不相同的性質，很容易發現此時有兩種構造等腰三角形的情況：

腰在寬BC上；腰在寬AB上。

本題所涉及到的知識點，主要有勾股定理、等腰三角形的判定、矩形的性質。

08參考答案

解：此題分兩種情況

⑴腰在寬BC上時，如圖：

CE=EF=5，

BE=BC-CE=8-5=3.

由勾股定理，得

FB2=EF2-BE2=52-32=16

FB=4cm

⑵當腰在寬AB上時，如圖，

BE=EF=5，AE=AB-BE=9-5=4，

在RT△AEF中，

AF2=EF2-AE2=52-43=9

AF=3cm

故答案為：3或4.

09易錯題練習(舉一反三)

1.如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=4倍根號3，點E是折線段A-D-C上的一個動點(點E與點A不重合)，點P是點A關於BE的對稱點，在點E運動的過程中，使△PCB為等腰三角形的點E的位置共有___個。

2.如圖，直線l是矩形ABCD的一條對稱軸，AD=2AB，點P是直線l上一點，且使得△PAB和△PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點P共有( )個。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

易錯題練習圖片版

10練習題參考答案

1.解：分為三種情況：

①以BC為底時，有兩個，是BC的垂直平分線與以B為圓心BA為半徑的圓的交點；

②以BP為底，C為頂點時，有兩個，是以B為圓心BA為半徑的圓與以C為圓心BC為半徑的圓的交點；

③以CP為底，B為頂點時，沒有，∵是以B為圓心BA為半徑的圓與以B為圓心BC為半徑的圓沒有交點；

綜上滿足要求的P有4個，

故答案為：4.

2.解：如圖，設直線l交AD於P1，交BC於P2.

∵四邊形ABCD是矩形，直線l是對稱軸，

∴四邊形ABP2P1是矩形，

∵AD=2AB，

∴AP1=AB，

∴四邊形ABP2P1是正方形，

∴△ABP1，△ABP2是等腰三角形，

作AB的垂直平分線交直線l於P3，則△ABP3是等腰三角形，

∴滿足條件的點P共有3個，

故選C.

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