愛因斯坦相對論證明勾股定理,人教版數學教材引圍觀

2020-12-22 澎湃新聞

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機器之心編輯部

相對論也沒想到,自己有生之年還可以被拿來證明勾股定理。

勾股定理是什麼,人人都知道:

在平面上的一個直角三角形中,兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。

如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是 a 和 b,斜邊長度是 c,那麼可以用數學語言表達為「a⊃2;+b⊃2;=c⊃2;」。

勾股定理是數學定理中證明方法最多的定理之一,現存幾百種證明方法。

不過,用愛因斯坦相對論中的質能方程證明勾股定理,是怎樣的一個過程?

最近,這個話題已經登上了知乎熱榜的第一名。

6 月 17 日晚間,一位匿名的知乎用戶發布提問「如何看待人教版教材疑似出現低級錯誤,用愛因斯坦相對論證明勾股定理?」,提到在人教版數學八年級下冊的自讀課本中,出現了「愛因斯坦對勾股定理的證明」的相關內容。

教材上這樣寫道:「2005 年是愛因斯坦建立相對論 100 周年,愛因斯坦在相對論中給出了一個著名的質能方程 E=mc⊃2;,其中 E 表示物質所含的所有能量,m 是物質的質量,c 是光速,這個質能方程是現代製造核武器、核電站的理論基礎。」

緊接著話鋒一轉,這本教材展示了愛因斯坦用相對論證明勾股定理的詳細過程:

首先,假設某一直角三角形的三條邊為 a、b、c,同時設這一直角三角形的面積為 E,根據相對論質能方程可知:E=mc⊃2;。

然後,從直角頂點出發作斜邊 c 的垂線段。此時,這一直角三角形被分割成為了兩個小三角形,它們的面積分別為:

E(a)=ma⊃2;, E(b)=mb⊃2;

鑑於 E=E(a)+E(b),即 mc⊃2;=ma⊃2;+mb⊃2;。

只需要約去式子兩邊相同的 m,可得 c⊃2;=a⊃2;+b⊃2;。

乍一看,似乎有點道理。也就是說,成功地用相對論質能方程證明了勾股定理?

在證明過程之後,教材編撰者特別提到,愛因斯坦隨後發表了這個證明,並且「震驚了國際數學界」。

「大家發現原來相對論有這麼大的威力。後來德國著名的數學刊物 Mathematische Annalen 聘請愛因斯坦去做了多年的主編。」

等等,為什麼質能方程裡的 m 可以隨便約掉,真空光速 c 和斜邊長 c 也變成了一回事?

一場迷惑的數學證明:翻譯的鍋?

看完這個頭頭是道的證明過程以後,許多網友表示「我裂開了」,並緩緩打出了一個問號:

雖然一眼看起來就是很不靠譜,但大家也嘗試分析了一下教材上出現這種低級錯誤的原因。

知乎用戶 @盧健龍表示:「用量綱分析和相似三角形來證明勾股定理本來是一個很巧妙的思路。將大的直角三角形以斜邊上的高分成兩個小直角三角形後,三個直角三角形是互為相似三角形的,它們各自的面積正比於各自斜邊邊長的平方(來源於量綱分析),且三者的係數相等(來源於相似性)。將這個共同的係數記為 m,將三個直角三角形的斜邊長度分別記為 c、a 和 b,便有了等式:mc⊃2;=ma⊃2;+mb⊃2;,約去非零係數 m 便得到了勾股定理。

題目中課本的編寫者可能是看到『mc⊃2;』和『愛因斯坦』等字眼,便自作聰明地將這個證明與相對論中的質能方程 E=mc⊃2; 聯繫了起來。這也體現了編寫者自己並沒有真正理解這個證明的思路,只是根據一知半解的主觀臆想去腦補和傳播錯誤信息。」

也有人認為,這是翻譯教材時出錯的結果。知乎用戶 @張峻銘表示:「我估計是翻譯的老師意淫出了這麼一個過程。」

知乎用戶 @張峻銘:先不說把光速和斜邊長混淆起來多麼可笑了,即便這個過程是對的,我印象裡相對論的推導也是用到了勾股定理來著,這樣難道不算循環論證?

話說回來,愛因斯坦究竟有沒有證明過勾股定理?

愛因斯坦和勾股定理

經過一番查證,我們得知,愛因斯坦確實證明過勾股定理,但和質能方程真的沒什麼關係。

這是另外一個版本的經歷,故事還要從他 12 歲說起……

根據 The NewYorker 在 2015 年刊發的一篇報導,1949 年,愛因斯坦在美國的一本文學雜誌《星期六評論》上發表文章,回憶了自己童年的兩個重大時刻。12 歲時,愛因斯坦得到了一本「關於歐幾裡得平面幾何的小冊子」,裡面所提到的畢達哥拉斯定理(也就是勾股定理)令他著迷。最終他證明了這一定理,並在文章中提到自己使用的是「三角形的相似性」。

後人嘗試還原了這個過程。當我們從直角頂點作垂線段時,原三角形就被分成了兩個小三角形。

因為它們對應的角是相等的,對應的邊長也是等比的,所以我們稱之為「相似」。因此,這三個三角形的面積可表示為 fc、fa、fb,顯然 fc=fa+fb。

如下圖所示,a⊃2;、b⊃2;、c⊃2; 分別代表由三角形斜邊形成的正方形的面積。

注意,在相似性的前提下,每一個正方形的面積都與對應的三角形面積有著等比關係。

因此推導出,a⊃2;+b⊃2;=c⊃2;。

當然,由於年代已久,我們無從得知幼年的愛因斯坦具體是如何證明勾股定理的,也無從得知他當年的證明方法是否獨樹一幟。但總歸和相對論沒有任何聯繫。

更重要的是,這一錯誤出現在義務教育階段的課本上,購買了這本教材的學生,會不會因此產生理論認知上的偏差呢?

在某電商平臺上,這本教材已經售出了 600 本。

參考連結:

https://www.zhihu.com/question/401988398

https://www.newyorker.com/tech/annals-of-technology/einsteins-first-proof-pythagorean-theorem

原標題:《愛因斯坦相對論證明勾股定理,人教版數學教材引圍觀,網友:我裂開了》

閱讀原文

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