第五章導數和微分的工具建立之後，必需要揭示導數更深刻的性質和應用，而微分中值定理（羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒定理）是導數理論最直接最精彩的應用。
在證明羅爾中值定理之前，請同學們回憶費馬定理：可導的極值點是穩定點（駐點）。
皮埃爾·德·費馬( Fermat)
姓名：皮埃爾·德·費馬( Fermat)
職業：律師，數學家(業餘的愛好)；
生卒：1601年8月-1665年1月
別名：火雲邪神(歡迎同學們看圖補充)
成長經歷：生於法國南部土魯斯，其父創辦了「江南皮革廠」，從小衣食無憂，並接受了良好的教育，本科畢業於奧爾良大學(烤翅估計是吃爽了)。
畢業後仗著家裡有錢，買了土魯斯的高級公務員(議員).而立之年，娶其舅表妹露伊絲·德·羅格.
學術貢獻：(1) 建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻；
(2)費馬大定理：沒有正整數解。1995年被英國數學家懷爾斯證明！
(3)對數論，光學都有重大貢獻，著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）稱費馬為十七世紀最多產的「業餘數學家之王」.
彌天大謊：我發現了一個美妙的關於這個定理的證法,可惜這裡地方太小,寫不下了!
Cousin Yang點評：儘管數學只是邪神業餘的愛好,然一個人的專業性並不是由他大學讀了什麼專業決定的，而是思考的深度和廣度決定的。
米歇爾·羅爾 ( Michel Rolle )
羅爾利用費馬，給出如下結論：
姓名：米歇爾·羅爾 ( Michel Rolle )
職業：哲學家，數學家，律師
生卒：1652年4月-1719年11月
別名：四大天王（羅拉柯泰）之首
成長經歷：出生於小店家庭，初中文憑，畢業後舉步維艱，貧困潦倒，時運不濟，泡MM居然泡成個老公(倒不算個渣男)，過早當爹，為了孩子不吃三鹿，拼命專研數學。
1682年，他解決了數學家奧扎南提出一個數論難題，從而名聲雀起，完成了屌絲的第一波逆襲，也使他的生活有了轉機，此後擔任初等數學教師(那時候還沒有考研輔導班)和陸軍部行徵官員。1685年進入法國科學院實習。1690年終於實習結束，成了科學院正式在編人員，完成了人生的第二次逆襲。1719年因中風去世。
學術貢獻：Rolle Mean Value Theorem &Generalized Rolle Mean Value Theorem
Cousin Yangd點評：羅爾其實充滿了正能量，也充分說明學數學的成本很低，同學，你買A4紙了嗎？
羅爾中值定理，看似有三個條件，但實際操作起來，基本上只需要驗證在端點處的值相等即可。而端點處的值相等，從概率論的角度，是不可能事件！絕大多數情況下，端點處的函數值不相等！於是，拉格朗日就來了，他來了，他來了，拉神對著f(a),f(b)唱到，我們不一樣，不一樣，每個值都有不同的取法，我們在這裡，在這裡等你！
約瑟夫·路易斯·拉格朗日
拉格朗日中值定理，幾乎是無條件成立，因為命題人只要給出與中值點相關的問題，必然會涉及到閉區間上連續，開區間內可導的條件，那也就意味著，我們可以理直氣壯地不講衛生，時時拉，處處拉，貨拉拉，拉出來那麼一坨歪歪扭扭的東西，不就是那個中值點科森嗎？
而科森又不能確定具體在開區間（a,b）哪一點，從而使得科森處的導數是一個範圍，從而可以估算，亦即會天生產生一個不等式！這也是為什麼拉格朗日中值定理往往可以證明不等式的本質原因！
羅拉的幾何意義都非常明顯，即曲線上存在一點，使得過該點的切線斜率等於過兩個端點的直線的斜率。然而柯西深邃又慈祥的眼神注視著我們說，世界是複雜的，一個函數禹禹而行太孤單，f還需要一個girl，於是柯叔又引入了g，如下
姓名：約瑟夫·路易斯·拉格朗日
職業：物理學家，數學家
生卒：1736年1月-1813年4月
業界地位：逢考必拉，你拉我拉大家拉
成長經歷：生於義大利都靈，拉神在青蔥的花季雨季並沒有表現出應有的叛逆(儘管其父希望他成為一名律師)，而17歲開始學習和研究微積分。18歲用蹩腳的義大利語寫了第一篇學術論文，並非常自信地寄給了當時最有名氣的數學家歐拉，歐拉淡定地告訴他這個問題很早就被妮子解決了。然而拉神並不氣餒。1755年，19歲的拉神鋒芒畢露，捲土重來，橫空出世的「變分法」奠定了在學術圈不可憾動的地位，同年擔任都靈皇家炮兵學校的教授，成為當時歐洲公認的第一流數學家，也成為數學史上最年輕的教授！1764年，拉神解決了法國科學院懸賞的萬有引力解釋月球天平動問題，成功獲得論文優秀獎！1766年-1795年間，分別在普魯士科學院數學部，都靈科學院，巴黎高等師範學院和巴黎綜合工科學校任數學教授，院長.
學術貢獻：數學、力學和天文學三個學科中都歷史開創性性貢獻(據說拉神研究力學和天文學的目的是為了表明數學到底有多牛批)。Cousin Yang點評：我們19歲忙著打農藥吃雞，而孤獨的拉教授深夜穿越千年，佇立在宿舍門口，說，年輕人，快起來拉一次！
奧古斯丁·路易斯·柯西
姓名：奧古斯丁·路易斯·柯西
職業：數學家，物理學家，天文學家
生卒：1789年12月-1857年5月
業界地位：前有羅，後有拉，只能陪你死柯到底
成長經歷：柯叔有個綽號叫苦瓜，因為他平常像一顆苦瓜一樣，靜靜地不說話，如果說了什麼，令人摸不著頭緒，和這種人溝通，是很痛苦的。柯叔年輕的時候，身邊沒有朋友，只有一群嫉妒他聰明和勤奮的人。正在備研的你，是不是有點兒能體會柯叔莫名的孤獨呢？
柯叔15歲那年，有幸和拉神一起吃飯，席間拉神發現柯叔天賦異稟、骨骼驚奇，想來是百年難得一見的數學奇才，於是包養了柯叔，傳授他那個時期最高端前沿智能的知識------微積分。1812年，拉神已在彌留之際，柯叔是時候繼承師傅的衣缽了，向法國科學院提交了兩篇論文從此一發不可收拾。1821年，柯叔已經名揚天下,功成名就。1830年爆發推翻波旁王朝的革命,柯叔離開法國，任都靈大學數學物理教授。1848年擔任了巴黎大學數理天文學教授。1857年5月23，柯叔突然去世，享年68歲。
學術貢獻：給出了極限的定義，化解了第二次數學危機，為微積分的蓋棺定論做出了不可磨滅的貢獻。彈性力學，複變函數的奠基人。
Cousin Yang點評：「人總是要死的，但是，他們的業績永存。」我希望，一百年後，理工男們看到我今天的複習指南，仍被幸福地折磨著！
柯西中值定理的幾何意義就不是那麼明顯了？如何理解並抓住柯叔給你girl friend？敬請關注大表哥每周三晚上的重難點解析直播（B站點擊搜索「大表哥考研數學」）。
柯叔作為拉神最得意的弟子，他繼承並推廣了師傅的意志，請同學們仔細品讀如下兩圖。
柯叔告訴我們，世界是複雜的，數學是抽象的，你的備研之旅是艱辛的，他溫潤的眼神，打量著每天都在修行路上的你，並且告訴你，你並不是一個人在戰鬥。他賜予你一個gf，你看到她，記住她，她就永遠不離不棄，直到你老年痴呆。他還指派一個「大表哥」，在你焦頭爛額神情恍惚的時候，大表哥總是從另一個維度，另一個視角，給你醍醐灌頂般的解析，深藏功與名，千裡不留行。
柯叔才高八鬥，學富五車，可是直到他生命的盡頭，他也並不完全知道到世界到底有多複雜，數學有多抽象。他眼睛閉上的那一刻，卻依然發著光，他堅信，總有人會徹底解開瀰漫的迷霧。是的，人類總是生生不息，奮鬥不止，後浪一波迎著一波，拍打著彼岸，浪花響徹天際。
克思來了！泰勒來了！
布魯克·泰勒（Brook Taylor）
職業：數學家，玩的展開式；
姓名：布魯克·泰勒（Brook Taylor）
別名：太樂(學神),太累了(學霸),太勒了(學渣)
生卒：1685年8月－1731年11月；
業界地位：研紅，理工狗的硬傷
The most prominent ideas：
1.數學統一於函數(Functions)
2.函數都是運動的(Motive)
3.運動都終將歸冪(Polynomials&Power)
職業：哲學家，玩的整個世界
姓名：看圖片
別名：老馬；大鬍子
生卒：1818年5月—1883年3月
業界地位：永存於研狗心裡
The most prominent ideas：
1.世界統一於物質(Matter)
2.物質都是運動的(Motive)
3.運動必經歷時空(Time&Space)
這兩位巨人的降世，意味著你的考研之路無比絢麗多彩又傷痕累累！
馬哲明確了我們的世界觀，同時又給出了方法論。敬請期待大表哥絕不雷同於任何一個傳統的政治老師的課程《馬克思主義基本原理》上線！
泰勒是屬於你的「歸冪」的男人，也是非常堅定的馬克思主義者，他成功運用馬哲的觀點，追根求源，找到了數學的本元，揭示了數學抽象的本質，從此抽象變具體，從此泰勒變太樂！
泰勒是偉大的，大表哥在十六年前剛認識他的時候，就掩飾不住赤果果地對泰勒的讚揚之情，他是真正的數學家，絕不雷同於高富帥洛必達師徒！
洛必達( L』 Hospital )
姓名：洛必達( L』 Hospital )
職業：數學家
生卒：1661-1704
業界地位：人見人愛，花見花敗
The most obvious features
1.Tall, rich, handsome
2.痴迷於數學，就像智齒一樣，無法自拔.可惜洛必達的數學才能，遠遠不及他對數學的熱情，無論他如何努力，始終無法在數學上有重大發現。於是，他花重金(約136千克白銀)收購了約翰·伯努利的研究成果：洛比達法則！
3. 整理並出版了第一本系統介紹微積分的書籍《無窮小量分析》。
Cousin Yang點評：
1.小洛哥哥第一次詮釋了知識真的很有價值，所以各位理工男，加油！
2.想起北宋有個哥們和洛比達有諸多相似之處，比如有房有鋪，自己當老闆，妻子貌美如花，還有官府的兄弟，然而命運卻大相逕庭。。。
約翰 伯努利( Johann Bernoulli )
姓名：約翰 伯努利( Johann Bernoulli )
職業：數學家
生卒：1667-1748
業界地位：太過高端 本科難見
The most obvious features
1. IQ=西安冬季的霧霾爆表指數；moral quality=negative IQ
2.1685年獲藝術碩士學位；
1690年獲醫學碩士學位；
1694年獲醫學博士學位；
1704年洛必達去世後，伯努利曬出當年和洛比達私下交易的信函，得了便宜又賣乖！
3.培養出一批出色的大數學家，其中包括十八世紀數學界全能型人才——歐拉。
Cousin Yang點評：
1.我們這個「神奇」的國度，卻沒有真正意義上神奇傳奇的高智商人物，那麼神奇只是奇葩和病態的代言詞而已！
2.缺乏契約精神其實很可怕，我們需要遵守契約，理工男女們，當你選擇了考研，請堅定地走下去，並付諸實踐！
微分學的許多重要定理，都是基於微分中值定理而證明的。中值定理的一個共同點，就是將函數在區間上的整體性質，通過其導函數在某一點處的局部性質反映出來。
這種從整體到局部，再到整體的思想方法，為微分學的應用奠定了基礎。它們除了可以用作理論證明之外，在討論具體的函數的性質時，也是強有力的工具。比如，羅爾定理常與閉區間上連續函數的零點定理結合起來，用於討論函數的零點的存在性及零點的個數；拉格朗日中值定理和柯西中值定理可用來證明不等式，而泰勒定理則是更高級，更精細地研究函數的常用工具。
本章的內容極其豐富，是各類考試的重難點，考研也不例外！同學們在複習時，請抓住羅拉柯泰這條主線，並體會這四個中值定理在證明過程中構造輔助函數的方法，認真獨立完成課後的習題（教材橫線之上）。到強化階段，再結合自己目標院校的真題，進一步權衡是否投入更多精力去複習！
數學分析第五章《導數和微分》備考指南
數學分析第四章《函數連續性》備考指南
數學分析第三章《函數極限》備考指南
數學分析第二章《數列極限》備考指南
數學分析第一章《實數集與函數》備考指南