微積分研究對象是微分和積分?錯了,都不是,是它

2021-01-08 虹野看教育

微積分研究對象是微分和積分？錯了，都不是，是它

文/虹野

很多人在中學都學習過微積分，認為微分就是求導公式、積分就是求面積，簡單的把微積分當作微分學和積分學。從數學的結構上來說這樣認為並沒有什麼問題，但是從學習者的角度來看問題就比較大了，即便是學習者把微積分的公式記得滾瓜爛熟依然無法理解微積分的意義和價值。關於微積分無用論的說法存在已久，此時我們需要知道微積分的研究對象是什麼。

微積分的研究對象是我們早就熟悉的「函數」，微積分可以說是研究函數的「可微性」和「可積性」。說到這裡習慣我用「日常語言」交流數學的朋友們可能感到有些「專業」的味道了，因為已經有人聽不懂了。那我們就說函數的最初「變量說」的定義，這個定義說「一個變量y隨著另外一個變量x的變化而變化，y就稱為x的函數」。如果熟悉哲學的朋友可能立刻想到一句著名的話：「客觀世界，一切具體事物全都處在運動和變化之中」，世界是變化的，運動是絕對的。我們在認識外部世界的過程中，在學習的過程中，如果意識不到「變化」的存在，那就麻煩了。

想認識變化，就需要知道「誰」在變化，這裡就出現了「分類」的方法，對我們所看到的事物進行歸類，構建「集合」，這些集合的特質或者分類的依據就可以當作我們觀察的「變化」，也就是常說的「變量」。比如我們把人分為「男人」、「女人」，那麼「性別」就是我們所要觀察的「變量」。如果我們把學生按照分數分類，那麼「成績」就是「變量」。變量可以用數值表示也可以用文字符號表示，這部分內容在我的專欄中有專門章節論述，這裡就不再贅述了。

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    在微積分中，萊布尼茲關於積分符號的規則以戈特弗裡德·萊布尼茲命名，我們來研究如下形式 的積分如下圖此積分的導數可表示為，這個就是萊布尼茲法則的一般形式請注意，如果 a(x)和 b(x)是常數，而不是變量x，我們得到一個萊布尼茲規則的特例：因此，在某些條件下，可以互換積分和偏微分算子。
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    許多人在學習微積分的時候，總是懷著」動態帶來變化「的信念，特別執著地要將它跟「運動」聯繫在一起。似乎強調它的複雜與困難，學習者更能與有榮焉。這多少跟恩格斯對微積分的那句評價有關：只有微積分才能使自然科學有可能用數學來不僅僅表明狀態，並且也表明過程：運動。
  • 微積分中最重要的一個概念,是轉變思維和學好微積分的關鍵
    充滿「極限」的微積分微積分中處處充滿著辯證地矛盾：常量與變量、收斂與發散、有限與無限、近似與精確、連續與間斷、微分與積分等，而所有的這些概念無不與「極限」相關。依然是辯證法的使用，考慮函數微分的逆運算，引入了不定積分，介紹了不定積分的計算方法和幾類可積函數；最後通過極限定義了定積分，然後介紹可積條件、性質，包括定積分中值定理和計算方法等內容，注意定積分採用的定義是黎曼可積，還有一種稍有區別，但適用範圍更廣的勒貝格積分定義，如此時具有可數間斷點的函數可積；結合積分區間的無限性或函數的無界性，又引入了無窮積分和瑕積分；無論是哪種積分
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    微積分原理微積分原理，一言以蔽之，即，微分和積分是互逆的運算。在同濟版的高數教材中，有微積分基本定理，即∫f( x) dx= F(b)—F(a) (1)它是什麼意思呢？就是一個函數求定積分，等於積分函數之差。再看一個微分公式，即dF( x)/ dx= f(x) (2)它的意思是積分函數的微分等於原函數。比較這兩個公式，就可以看出，是有聯繫的。
  • 微積分到底是牛頓發明還是萊布尼茨發明
    微積分的發明，絕對是人類歷史上最重要的發明之一。著名數學家、計算機學家馮諾依曼就曾評價：「…微積分是現代數學的第一個成就，而且怎樣評價它的重要性都不為過…微積分比其他任何事物都更清楚地表明了現代數學的發端」。
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    牛頓和萊布尼茨的微積分優先發明權之爭是一場沒有硝煙的戰爭，它即不為才，也不為色，更不是你死我活的那種故事，但它卻持續了一個多世紀，甚至導致了18世紀英國和歐洲大陸的對抗。這場戰爭在當時看起來牛頓是大獲全勝，萊布尼茨輸了，甚至他的晚上生活蒙上了巨大的陰影。
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    微積分名稱的來源大家好，今天給大家介紹一下「微積分」這個名稱的來源。牛頓和菜布尼茲是微積分的奠基人。牛頓稱微積分為「流數術」(fluxions) ，這名稱後來逐漸被淘汰。萊布尼茲世界上第一本系統的微積分著作是洛彼塔(洛必達)的《無窮小分析》(Analyse des infiniment petits, 1696). 於是「無窮小分析」或簡稱「分析」又成為微積分的別名。
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    今天的文章將討論一種晦澀但強大的積分技術，它通常被稱為積分符號下的微分，但偶爾也被稱為「費曼技術」，因為他在書中推廣了這一技術，也被稱為萊布尼茨積分規則。在我們開始之前，有一點需要澄清：雖然萊布尼茨規則有時被稱為「費曼技術」或類似的名稱，但它不應與費曼的量子力學路徑積分公式相混淆。
  • 數學天才——理察·費曼的積分技巧,高等數學還可以這麼簡單
    這篇文章將討論一種晦澀但強大的積分技術，它通常被稱為積分符號下的微分，但有時也被稱為「費曼技術」，因為費曼在他的書中推廣了這種技術，並被稱為萊布尼茨積分規則。開始之前有一點需要澄清：雖然萊布尼茨規則有時被稱為「費曼技術」或類似的名稱，但它不能與費曼的量子力學路徑積分公式相混淆。
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    在數學、物理學和工程力學等諸多領域，矢量是很一個重要的概念。簡單的去理解它，就是帶方向的量，比如力F，速度v等都要作矢量分割。尤其在工程力學領域，兩個不方向的量，其性質可能會有本質的區別。比如下圖：這是一個對曲杆進行內力分析的微分單元。
  • 定積分——微積分中最龐大的模型
    定積分——微積分中最龐大的模型（請先關注，再下單）定積分的定義在學習的過程中常常被老師和學生們有意無意地忽視，無他，太難爾。這種忽視對於平日說「微積分無用論」的人來講，恰恰證明了「無用」的原因，有用的往往被「忽視」了。幾乎沒有哪個定義如定積分一般給出一個完美的數學模型，從最簡單的問題入手橫跨兩千多年才完成曲線圍成的圖形面積的求法，這個完美的建模的過程對於人的思維發展和數學的應用來說其價值都是難以衡量的。可惜，絕大多數人深入寶山空手而歸，僅僅關注使用微積分基本定理去計算定積分，錯失自我提升的一個機會。
  • 微積分、線性代數、概率論,這裡有份超詳細的ML數學路線圖
    大多數機器學習都建立在三種數學理論的基礎上：線性代數、微積分和概率論，其中概率論的理論又基於線性代數和微積分。微積分微積分包括函數的微分和積分。神經網絡本質上是一個可微函數，因此微積分是訓練神經網絡的基本工具。首先，函數的導數定義如下在極限定理中，這也是點 x 處切線的斜率。
  • 讓我們假設一個微積分落後但深度學習...
    對於那些擅長於用微分方程、概率論解決問題的數學家們來說，素有「黑盒子」之稱機器學習往往是要被踢到鄙視鏈底端的。　　但是，在與各行各業中，絕大多數公司（小到初創公司，大到國際巨鱷）都在尋求運用機器學習的方法。隨著企業不斷地將機器學習融入其文化與組織中，這事也變得越來越普遍。　　有意思的是，在本科和碩士教育中，數學專業內部居然也都瀰漫起了機器學習的熱潮。
  • 學習遊戲《微積分歷險記》:這會難倒《遊戲人生》裡的空和白嗎?
    《遊戲人生》裡空和白說過：空白的字典裡沒有敗北二字。最近騰訊公布代理一款「學習功能遊戲」《微積分歷險記》，沒錯，就是微積分，就是讓許多大學生瞬間豎起寒毛的三個字「微積分」。具體遊戲操作類型就是玩家操作一名叫做伊誇的女孩，被困在可能被太陽風暴摧毀的星球上，必須通過微積分來解決面前一個個謎題來激活機關或開闢道路，而遊戲規則就是推導公式和繪製函數圖像來解謎。
  • 微積分從入門到精通第七關——中間變量是什麼「鬼」?
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  • 微積分發明權之爭:牛頓和萊布尼茨的巔峰對決
    不過這都是旁觀者的看法，屬於看熱鬧不嫌事大的那種，對於當事人來說，還是獨步江湖更好一點，比如愛因斯坦和玻爾就吵了半輩子，甚至影響了科學的發展，不過兩人都還沒有君子之風，只是學術爭論，沒有上升到人身攻擊。可是對於萊布尼茨和牛頓來說就不是這麼回事了。