#月考#初中數學中，幾何是很重要的一部分。而在幾何證明中，做輔助線構造相應的圖形則是很重要的方法。那麼今天在這裡呢，分享通過平移構造輔助線來解決幾何問題。
01例題
問題呈現
如圖13-1，在邊長為1的正方形網格中，連接格點D、N和E、C,DN和EC相交於點P,求 tan∠CPN 的值.
方法歸納
求一個銳角的三角函數值，我們往往需要找出(或構造出)一個直角三角形.觀察發現問題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點
M、N.可得MN∥EC，則∠DNM=∠CPN,連接DM,那麼∠CPN就變換到Rt△DMN中.
問題解決
⑴直接寫出圖13-1中tan∠CPN的值為____；
⑵如圖13-2,在邊長為1的正方形網格中，AN與CM相交於點P,求cos∠CPN的值；
思維拓展
(3)如圖 13-3,AB⊥BC,AB=4BC,點M在AB上，且 AM = BC,延長 CB 到 N,使BN=2BC,連接AN交CM的延長線於點P,用上述方法構造網格求∠CPN的度數.
02例題剖析
（1）連接格點M、N ，可得MN//EC，則∠DNM=∠CPN，連接DM,那麼∠CPN就變換到Rt△DMN中，由此便可寫出tan∠CPN的值.
（2）在圖13-2中，取格點D,連接CD、DM.那麼∠CPN就變換到等腰Rt△DMC中.
（3）利用網格，構造等腰直角三角形解決問題即可.
03例題詳解
解：（1）由圖 13-1 可知 EC∥MN,故∠CPN = ∠DNM,即 tan∠CPN=tan∠DNM.
因為 ∠DMN = 90°,
所以 tan∠CPN=tan∠DNM=DM/MN=2
（2）取格點D,連接CD、DM,如圖13-4.
因為 CD∥AN,所以，∠CPN=∠DCM.
因為△DCM是等腰直角三角形，所以∠DCM=∠CDM=45°.
因此，cos ∠CPN = cos∠DCM=二分之根號2.
(3)如圖13-5,取格點M,連接AM、MN.
因為 PC//MN,故有∠CPN=∠ANM.
因為 AM=MN ,∠AMN = 90°，
所以 ∠ANM=∠MAN=45°,即∠CPN=45°.
04知識歸納
證明平面幾何問題的困難很多,其中有關元素較分散是一個重要原因.要解決這一難點，可以通過圖形變換來添加輔助線，改變這些元素所呈現的位置關係，從而解決問題.這其中，平移是一種很重要的方法.
平移的主要功能就是把分散的線段、角相對集中起來,從而使得已知條件集中在一個基本圖形中；或者，經過平移產生新的圖形.而使問題得以轉化解決.
平移是變換手段，變換的結果則要過特定點作平行輔助線得以呈現.平移後還需要一個工作，就是連接平移線段的另一端點和其他一些關鍵點，將平移後的圖形放入一個封閉的圖形中（常見的是三角形或平行四邊形），再進一步分析.
有時將平移中的對應點連接，則可以得到一些平行四邊形，這些平行四邊形是連接原圖形和平移後圖形的紐帶，可以帶助進行邊和角的轉移.同時，基於平行，可出現相似圖形，有助於邊的數量關係的確定.
一些常見的平移方法如圖13- 7所示.