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根據定義，無理數也稱為無限不循環小數，不能寫作兩整數之比。諸如1 / 2、3 / 5和7/4之類的數字稱為有理數。和所有其他數字一樣，無理數可以用小數表示。但是，與實數的其他子集（如圖1所示）相反，無理數的十進位擴展永遠不會終止，也不會像循環小數那樣有著重複的序列。而圓周率π（圓周長與其直徑之比）正是無數無理數中的一個（如圖2所示）。
圖1：該圖展示了實數R的集合π的值已經由幾個古代文明進行了估計。然而，在17世紀，在牛頓和萊布尼茨發現微積分之後，無限級數開始用於獲得更好的近似值。一個例子是：
它是由印度數學家Madhava首次發現的。對於x= 1，它成為π的所謂萊布尼茨公式：
它的缺點是收斂速度非常慢。
圖2：π是一個無理數的一個例子。它是圓周長與直徑之比。另一個無理數的著名例子是2的平方根，它是由薩摩斯的傳奇哲學家畢達哥拉斯的追隨者發現的。
2的平方根是無理數(來源)的一個例子。這裡我們的目標是提供一個簡單的證明π的非理性。為了做到這一點，我們將遵循尼文並從定義一個輔助函數f(x)開始。
引入輔助函數
讓我們首先考慮以下(顯然無關的)函數：
Eq.1：這個函數f (x)將用於證明π的非理性。其中n是整數。這個函數可以寫成冪展開形式。例如，對於n = 1、2和3，我們有：
Eq.2：由公式1給出的n = 1,2,3時f(x)展開的例子。通常，一個具有以下相等性：
Eq.3：方程1中的函數寫成冪展開形式。可以容易地確定係數。例如，對於n = 1，
對於n =3：
f (x)的屬性
對於0< x < 1，我們有：
Eq.4：f(x)的第一性質這是f(x)的第一個重要性質。因為：
我們需要f(x)的其他三個性質。其中兩項是：
Eq.5：f(x)還滿足d 兩個性質。其中(m)是m次導數。
我們需要的最後一個性質是：
這是一個整數。注意，f(x)的所有導數都是整數。由於f(x)在x和1-x交換時不變，所以函數本身及其導數在x=1時也是整數。
通過一個簡單的例子可以使這些性質更加清晰。讓n = 4，然後我們有：
從這裡我們可以讀出c係數的值：
我們可以看到所有的性質都是滿足的(為了避免過多的雜亂，省略了m=6和m=7的情況)：
證明π的無理性
這個證明是由加拿大裔美國數學家伊萬·尼文提出的。首先假設與我們要證反。更具體地說，我們假設π的平方是有理數：
Eq.6：假設π的平方是有理數，這是我們想要證反。然後構建以下函數：
其中Eq. 5用來消去大於2n的f(x)的導數。
正如我們剛才看到的，f(x)和它的所有導數在x=0和x=1處都是整數。這意味著F(0)和F(1)，也就是F(1) + F(0)也是整數。我們現在使用以下等式：
Eq.6消去b，兩邊積分得到：
利用Eq.4可得：
但對於足夠大的n：
這與我們之前發現的F(1) + F(0)是整數相矛盾。初始假設Eq.6因此虛假和π^2必須是無理數。現在如果π是無理數，那麼π^2也是無理數。因此π也必須是無理數，證畢。
這個證明的優雅和簡單是不可否認的。他們讓我們意識到純數學是多麼的美好。