小學時對我們大多數人都灌輸了一件事，圓的面積是圓周率π乘以半徑的平方。只需知道圓的半徑，我們就可以計算出圓的面積。儘管看上去這似乎是小菜一碟，但我們忘記了一件事。π是一個無限不循環的無理數，因此，無論我們在計算圓的面積時考慮到多少位數的π，它都不可能真正精確。這個傳奇的無理數字包含的小數位比宇宙中的星星還要多，因此，如果您追求圓面積100％的準確性，似乎沒有足夠的數字。
π 是無理數，不是不精確
π是一個無限不循環的無理數。當我們說π是無限的時，我們打算說π具有無限的表達式，而不是無限的值。π是一個存在的實數，但是由於它具有一個永無止境的擴展，因此其十進位表示會變得棘手。之所以說所有這些，是因為我們要強調pi具有無限表達式但具有有限值的事實。這不是不準確，只是不合理。
您考慮的π位數越多，得到的答案越精確。這並不意味著使用 π使答案不準確；相反，它無限不循環只會給我們一個更精確的答案。
話雖這麼說，我們不能僅僅指責π的不斷擴展無法提供確切的答案，大千世界到處都存在誤差。
沒有什麼是精確的
我們永遠無法完全精確地知道任何事情。長度、質量、體積和其他數量只能達到一定的精度水平。即使在測量圓的半徑時，被測量的半徑也精度有限。因此，在計算一個圓的區域時，這種不確定性開始發揮作用，答案有一定的誤差。沒有什麼是不可能沒有誤差。所有事情都有一些誤差，所以這就是我們處理事情的方式。我們永遠不能百分之百地肯定我們的結果。
因此，不僅不可能確定圓區域的確切值，而且同樣不可能以 100% 的精度測量任何區域的面積。常規多邊形（如正方形和矩形）的面積涉及其邊長的測量，這不能免受誤差的影響。
此外，精確的含義是什麼？精確，例如零錯誤的事物，還是精確意義更精確的事物？我們永遠無法完全消除誤差，因此精確的值可能指的是更精確或誤差程度更低的值。
在確定圓的面積時減少不準確度的可行解決方案是考慮獲得有理數作為答案。這能對情況有任何幫助嗎？
以一個有理數作為面積可以給我們一個精確的答案嗎？
首先，當一個無理數的函數時，我們如何獲得一個有理數的面積？永遠記住，兩個有理數的產物總是有理數，而兩個無理數的產物可能是有理數，也可能不是無理數。
圓的面積是π倍半徑平方。在這裡，我們以半徑值為例，以便獲得一個有理數作為答案。
令r =√（x /yπ）其中x，y∈
因此，面積=π×[√（x /yπ）]
面積= x / y，其中x，y∈
因此，這裡的半徑似乎是一個無理數，這給了我們精確而合理的面積。話雖如此，我們可能沒有注意到的是，在這種情況下，半徑和π都是無理數，這讓我們回到了原點。儘管我們想要一個有理數的答案，但我們忽略了一個事實，即我們使用無理數來得出這個有理數答案。想像一下，必須用等於1/√π的值來度量半徑，聽起來像一場噩夢。
此外，有理數也可以是非終止的。因此，除非有理數有一個有限小數展開式，否則仍然不能使用有理數！