黑洞與廣義相對論有著天生的親緣關係，當德國物理學家史瓦西1915年得到引力場方程的第一個精確解時，人們就發現在這個被稱為史瓦西解的數學模型中，包含著兩個非常明顯的奇異性，一個是史瓦西半徑面上的奇異性——後來被稱為史瓦西視界，另一個則是黑洞中心點的奇異性——黑洞奇點。
在前幾篇科普文章中，我們已經對史瓦西視界上的奇異性有了很多的了解。今天聊到黑洞奇點的奇異性，為方便表述，下面的全部討論都將建立在靜態球對稱的史瓦西黑洞上。
黑洞奇點(0體積，也不是白的）
黑洞奇點的體積是0，僅僅憑藉這一點就可看出，指揮著宇宙大尺度範圍內天體運行及時空變化的廣義相對論，也是可以生成如量子場論中的點粒子一樣的模型的。這意味著，黑洞奇點是廣義相對論與描述微觀世界的量子力學很好的一個結合點。
但是，我們在這篇文章中需要明確指出的則恰恰相反，黑洞奇點不但在廣義相對論的數學形式上具有奇異性或失效性，它在量子力學的基本原理上也屬於一種奇異性的特例。
為更直接地理解黑洞奇點的數學形式，我們先來介紹時空的四維表述。
時空的四維形式
在愛因斯坦的廣義相對論中，時間、空間是被統一為四維連續體的。就是說，時間這個維度，被確定性的「距離化」而加入到三維空間中。
彎曲的四維時空模擬（二維畫面模擬圖）
我們知道，在真空中光速總是恆定不變的（2.998×10∧8m/s），這是時空的對速度的基本限定，因此時間要想「距離化」就必須對其乘以光速，即c×t（c為光速，t為時間）。
接下來我們要做的是定義出四維時空的「距離」（這在廣義相對論中被假定為一個不因參考系變換而發生變化的量），s∧2=c∧2t∧2－x∧2－y∧2－z∧2（x、y、z為三維空間坐標，s為四維時空中兩點的距離）。當以微分的形式表述出來時，時空弧元（四維時空中無限接近的兩點間的距離）ds∧2=c∧2dt∧2－dx∧2－dy∧2－dz∧2（d為微分符號，例如dt表示時間t的無窮小增量，dt∧2表示這個無窮小增量的平方，而不是時間平方的無窮小增量）。
對於上述微分式，很容易看出右邊各項的係數全部為1，它們代表著歐式四維時空的平直度規（度規是時空弧元表達式中右邊四個項的係數，它們為1時，代表時空的平直性，不為1時，代表時間或空間的彎曲程度），還可以看出這個四維時空弧元的表述是與三維歐式空間中距離的表述式相類似的，唯一的差別只是後面三項的負號。
黑洞奇點的數學奇異性
史瓦西在對靜態球對稱黑洞進行引力場方程求解時，為方便，引入了球坐標（r,θ，φ），得到的時空弧元為
球坐標示意圖
靜態球對稱引力場的史瓦西解
上式中的ds為四維時空的弧元，rg為史瓦西半徑，也就是視界到黑洞中心奇點（球坐標原點）的距離。
當我們在黑洞的視界內部，選取一條徑向路線，使得dθ，dφ全部為0，右邊第二項則會變為0，這時會發現時空度規僅僅剩下兩項（原來的第一項和第三項），第一項c∧2dt∧2的係數為時間度規，第二項dr∧2的係數為空間徑向度規，參見下面兩圖。
時間度規
空間徑向度規
首先我們會發現，時間度規與空間徑向度規互為倒數且正負號會顛倒，這可以認為是黑洞視界內部時間與空間的相互「轉化」。
在黑洞的中心奇點處r=0，我們看到空間徑向坐標dr∧2的係數即空間徑向度規為0，這代表著空間在奇點上處於無限壓縮的狀態，也就是所有進入黑洞奇點的物質其體積都會變為0；而時間坐標c∧2dt∧2的係數即時間度規變為負無窮大，這意味著時間在黑洞奇點處失去了應有的物理意義。
總體來說，黑洞奇點處的時空將會發生無限大的彎曲，其體積為0，質量密度自然也會無限大。這讓我們在廣義相對論的數學形式上非常清晰地看到了黑洞奇點的奇異性或非真實性。
不確定性原理的失效
黑洞奇點的奇異性還遠遠不止上面所討論的這些。因為黑洞奇點的體積為0，但確確實實地具備著一定的質量，考慮量子力學中尤其在場論中粒子被視為0體積質點的觀點，我們容易想到黑洞奇點在原則上應該服從量子力學規律對於點粒子的約束。
量子力學最重要的基本原理之一是海森堡的不確定性原理——粒子的位置與動量不可能同時具有準確的數值，其不確定度的乘積不會小於約化普朗克常數的一半。
不確定性關係式
當我們仍然選取以黑洞中心奇點為原點的球坐標時，會立即發現更讓人不安的事情。由於黑洞奇點上總是蘊含著能量（質量），任何到達黑洞奇點處的物質總是由基本粒子組成的，而這些粒子只要能量不會憑空消失（實際上能量確實是不可能消失的），最終在奇點上粒子哪怕不斷經歷著無限大曲率的時空彎曲，其能量仍應以粒子的形式存在。
當我們選取奇點上任意一個粒子A，可以確定的是A的位置在黑洞的球坐標上是完全確定的，這就意味著粒子A的位置不確定度△x是0。那麼粒子A的動量呢？
在黑洞的球坐標繫上，A一直處於坐標原點處，即使它的質量再大，其動量都是0，也就是說其動量的不確定度△p為0。
這時候我們發現，對於奇點上的粒子A來說，其位置不確定度△x與動量不確定度△p的乘積△x△p嚴格為0，是完完全全小於約化普朗克常數的一半的。而這種完全確定的粒子狀態在量子力學中是不可想像的。
終於，我們看到了黑洞奇點也將不確定性原理打破了。
黑洞奇點上奇異性的本質原因
看到這裡，我們禁不住要問，黑洞奇點真的存在嗎？為什麼它會由廣義相對論派生出來，又使廣義相對論所依賴的時空背景失效？為什麼它連量子力學中的不確定性原理也打破了？
無窮大示意圖
這一切的原因，我們可以歸結為「無窮」的出現！
正是因為無窮小體積的出現、無窮大的時空曲率的出現，使得廣義相對論的數學形式在黑洞奇點上失效了，並進一步使得粒子被嚴格局限在黑洞奇點上以至於打破了量子力學中的不確定性關係。
至於黑洞奇點到底是否只是一個數學形式上的演繹，目前不得而知，這一切的謎底唯有我們徹底將量子力學與廣義相對論融合在一個完整自洽的理論體系中以後才能解開！就讓我們拭目以待吧！