在今年5月，在論文預印網站arXiv上出現了這樣一篇論文，內容是有關於組合學中最重要的一個問題——拉姆齊數。論文的作者名叫Ashwin Sah，他才剛剛年滿21歲，如今是麻省理工學院數學系博士一年級的學生。
當Sah還是一名本科生時，就已經發表了許多數學結果。有數學家評論說，以Sah在本科時期所作出的學術成果的數量和質量，就已經足以讓他獲得教職。即使是在一個時有天才出沒的領域，這樣的成就也是罕見的。
我們將目光放回到5月的篇論文上，如前面說到的，這是一篇與拉姆齊數有關的證明。那麼什麼是拉姆齊數呢？
拉姆齊數所考慮的是涉及到被稱為「單色團」的概念，這一概念描述的是在按照特定的著色程序為一張圖（由邊連接的點的集合）著色之後，由相同顏色的邊相互連接的頂點個數。它由英國數學家弗蘭克·拉姆齊（Frank Ramsey）於上世紀20年代提出。我們可以通過一個實例來更直觀地理解何為拉姆齊數。
先來看一個有著5個頂點的圖，將它們的每一個點都用邊兩兩相連，如此一來，這5個頂點可用10條邊連起來，形成一張被數學家稱為完全圖的圖。接著，將每條邊塗成紅色或黃色兩種顏色。現在問題來了，你能有辦法避免出現3個頂點是用相同顏色的邊連接而成的情況嗎？
對於有著5個頂點的完全圖來說，這個問題的答案是肯定的。但當頂點數量增加到6時，情況就不同了。
對於存在6個頂點的完全圖，我們需要用15條邊來讓每個頂點兩兩相連。當我們試圖給這15條邊分別塗上紅色或黃色時，無論採用何種方法，都不可避免地會得到3個被相同顏色的邊相互連接的點。
這些被同一種顏色相連的點就被稱為「單色團」。用數學家的話來說，對於顏色數量為2和一個大小為3的單色團來說，拉姆齊數為6。它意味著你需要一個至少包含6個頂點的完全圖，才能保證這樣一個單色團存在。
拉姆齊數的變化取決於用於著色的顏色的數量，以及你所設定的單色團的大小。隨著「團」的大小越來越大，拉姆齊數的精確精算變得異常困難。因此，目前已經精確知道的拉姆齊數非常少，除了少數的一些較為簡單的情況之外，在絕大部分情況下，數學家無法直接計算拉姆齊數，只能給出一個可能的取值範圍。舉例來說，即便是在看起來較為簡單的情況——顏色數量為2、單色團大小為5，數學家也只知道相應的拉姆齊數介於43到48之間。
這種通過計算拉姆齊數的可能取值範圍的方法最早可追溯至上世紀30年代，數學家保羅·埃爾德（Paul Erds）和喬治·塞克勒斯（George Szekeres）最先提出了一種利用「上界」和「下界」的概念來研究拉姆齊數問題的方法。他們不對拉姆齊數進行精確計算，而是確保一個任意大小的團的拉姆齊數一定大於某個數（即下界）、小於另一個數（即上界）。
這種方法被後來從事這一研究的數學家所使用，只是一直以來鮮少出現令人矚目的重大進展。2009年，加州理工學院的數學家David Conlon計算出了兩種顏色的拉姆齊數的最佳上界（今年9月，Conlon於arXiv提交了一項新的研究，為多種顏色情況下的拉姆齊數給出了最佳下界）。而Sah在最新論文中，他採用與Conlon相同的方法，進一步改善了這一上界，成功證明了一旦一個圖達到一定大小，那麼它將無可避免地包含一個大小與圖的大小相應的團。
在接受媒體採訪時，Conlon評論道，Sah的證明將這種方法推到了其極限。
Sah所作的工作難度非常大，且極具獨創性。因此，他能在本科時期就取得這樣的研究成果，是十分令人驚嘆的。10月29日，專門針對在數學領域表現優異的美國、加拿大和墨西哥大學生的摩根獎，授予了正在麻省理工學院數學系攻讀博士學位的Sah和另外一名學生Mehtaab Sawhney，以表彰他們在本科時期在組合學、離散幾何和概率等領域中所作出的傑出成果。#木木西裡#
內容來源： 原理
博士勸退文（肺腑之言）
5個地球之外的實驗
20 歲感染 HIV，病情被醫院判死刑後：什麼才是「活著」？
特別聲明：本文發布僅僅出於傳播信息需要，並不代表本公共號觀點；如其他媒體、網站或個人從本公眾號轉載使用，請向原作者申請，並自負版權等法律責任。