四色定理是世界近代三大數學難題之一，其證明難度足以媲美費馬大定理，迄今為止，尚無人能從理論上證明四色定理。
1852年，一位大學生古德裡在對地圖進行著色工作中驚訝地發現，每副地圖只需用四種顏色就可以實現不混淆的目的。什麼意思呢？
了解以下幾點有助於理解古德裡的發現：
1. 必須是在平面地圖上進行著色。
2. 「不混淆」的意思是存在公共邊界的兩塊區域著不同的顏色。
3. 公共邊界不包含只有有限個公共點的情況。
可以通過下面這個例子理解什麼是公共邊界。
上圖中，區域1和區域2存在公共邊界，黑色曲線即為區域1和區域2的公共邊界，因此區域1和區域2必須著不同的顏色。區域1和區域3隻存在兩個（即有限個）公共點，因而區域1和區域3不存在公共邊界，因此區域1和區域3可以著相同的顏色。同理，區域2與區域3存在公共邊界，因此，區域2與區域3必須著不同的顏色。因此，對上圖，事實上只需兩種顏色即可實現地圖不混淆的目的，如下圖所示。
我們可以通過對一些常見地圖進行著色以加深對四色猜想的理解。
四色猜想實際上就是說在平面上不存在5個及以上的兩兩相鄰區域。因為如果存在5個及以上的兩兩相鄰區域，需要用到的顏色勢必不止4種。
隨後，古德裡驗證了大量地圖，沒有發生意外情況，即驗證過的地圖都能用四種顏色就可以實現地區的區分。
古德裡自己未能加以證明，於是拉上正在讀大學的弟弟，試圖對四色猜想進行理論上的證明。然而，稿紙堆積如山，仍然徒勞無功。
從古德裡、德·摩爾根到哈密頓，無人能證明四色猜想，但誰都不能否認四色猜想的正確性。
1872年，著名數學家凱利正式向數學學會提出四色猜想問題，從此四色猜想就像一場瘟疫一樣席捲全球，吸引大量的數學家為此痴迷。
科學家似乎在1880年左右看到了黎明的曙光。1878年-1880年，肯普和泰勒分別提交論文，宣布證明了四色猜想。就當整個科學界為之歡呼的時候，年僅29歲的頂尖大學高材生赫伍德直接向歡呼雀躍的科學界潑了一盆冷水，
他以精確的計算能力指出了肯普證明中的漏洞，不久，泰勒的證明也被無情地否定了。
人們發現，肯普和泰勒實際上證明的是五色定理，即任何一張地圖只需用五種顏色即可。
從五色到四色，儘管看似只有一步之遙，但這如同哥德巴赫猜想「1+2」到「1+1」，這一步始終邁不出來。
1976年6月，兩位數學家在兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億個判斷，結果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了四色定理，轟動了世界。當兩位數學家發表他們的研究成果後，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了「四色足夠」的特製郵戳，以慶祝這困擾了人們一個多世紀的難題最終得到了解決。
不過這方法就像是窮舉法，姑且不論這兩位數學家是否真的窮舉了所有可能情況，這種證明無法讓人真正信服。四色猜想的理論證明還在繼續……