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為了避免日常理解中「直」的含義的幹擾，日常理解中的「直」和「曲」只是相對的，沒有絕對的「直」和「曲」；為了便於理解，在閱讀空間、表面等方面時，可以想像自己是空間或表面上的一隻小螞蟻，這樣你就可以很容易地理解；深呼吸三遍，開始閱讀
歐氏幾何
歐幾裡得幾何「歐氏幾何」的縮寫是幾何的一個分支。在數學上，歐幾裡得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，他基於五個一般公理和五個幾何公理。
有五條公理
五個幾何公理：
一條直線可以從任何一點畫到另一點（也稱為直線公理）；一條有限線可以延伸；圓可以以任意點為中心，在任何距離（半徑）處畫圓（圓公理）；所有直角彼此相等（垂直公理）；在外點只有一個平行線（平行公理）線路。
歐幾裡得用五個基本公理和五個幾何公理定義了一些基本的幾何概念，如點、線、角等，在此基礎上，他把當時所有的幾何學知識放入一個非常嚴格的知識體系中，從而構建了我們所知的歐幾裡得幾何。
眾所周知，公理是推導其他命題的起點。公理和定理是不同的，一個公理（除非有冗餘）不能從其他公理中派生出來，否則他本身就不是出發點，所以公理是不言而喻或無法證明的。
數學家對幾何學的前四條公理沒有異議，但反對第五條平行公理，也就是說
在數學史上，兩個人改變了幾何學中的第五公理，然後根據邏輯創造了一套自洽的新幾何系統。
第一個改變第五個公理的人是做羅巴切fsky，他假設他可以通過傳遞線外的一個點來生成任意數量的平行線；
第二個改變第五公理的人是著名數學家黎曼（即提出黎曼）猜想的人，他假設通過線外的任何一點，都不能生成平行線。
由於羅巴切forsky和黎曼修改了幾何中的第五公理，形成了一個邏輯自洽的知識體系，由於得到的許多結論不符合歐氏幾何，因此他們統稱為非歐幾何。
非歐幾何體羅氏幾何體
假設任何數量的平行線都可以通過與線外的一個點相交來實現。如果我們接受他的假設並應用其中的所有結論，那麼空間將從方方正正變成馬鞍形，也就是雙曲面。
在這樣的空間裡，三角形的三個角加起來小於180度。此外，歐幾裡得幾何的許多結論在這個新系統中需要修改，但需要指出的是，新幾何系統本身是自洽的。他以發明家羅巴切forsky命名，當然，為了簡單起見，我們稱之為羅氏幾何。
非歐幾何體黎曼幾何體
假設穿過線外的任何一點，平行線無法繪製（例如，在地球上無法繪製平行於東經180度的平行線，所有直線在兩極相交），以這種方式構造的幾何體稱為黎曼幾何體。
在黎曼幾何中，空間扭曲成橢球體的形狀。這個空間的每一部分都是一個橢圓，所以他也被稱為橢球空間。如果你在上面畫一個三角形，他的三個角加起來超過180度。
這個結論很容易被在地球上證實：如果你從北極到正南，然後到正西，最後到正北），你就回到了起點，也就是北極。你走過的三角形，三個角的和是270度。
這樣，我們就可以簡單而生動地理解上述三個幾何系統
如果你拿一張紙平放在桌面上的桌子上（即曲率為0），那麼在這張紙上建立的幾何知識體系就是歐氏幾何；如果你把紙包在一個球上（即曲率為正且收斂），那麼在這個球面上建立的幾何知識體系就是黎曼幾何；至於羅氏幾何學，我沒有想到一個合適的簡單方法，讓你明白在你家以北10000米有一個火車站，在你家以東10000米處有一個火車站B，一條軌道的最短路徑連接A，B火車站，那麼，鐵軌將離你家不到1米遠，有沒有「看似天涯，實則咫尺」的感覺。
我們能從中得到什麼？
只要前提堅實可靠，邏輯推導過程嚴謹，不管結果是不可思議，你都應該接受他，我們介紹的三個幾何系的公理有90%是相同的，並且出現了一個看似最無關緊要的公理，然而在這之後，所開發的知識系統就完全不同了。我們經常覺得好像從別人的經驗中吸取了教訓，但是東西是不同的。大多數時候，差異來自細節，可能是10%。然而我們通常對90%的一致性感到滿意，而忽略了這種差異，這導致了完全不同的結果。應該有理性的眼光，在沒有一個明確的解釋之前，人們的識別就會產生誤解。例如，我們常說深色，我們不認為這個概念不清楚，但不同的人對深色的理解可能不同。