三角函數恆等變換及倍角公式和半角公式

2020-12-06 小朱與數學

上篇文章中，我以下面四個三角恆等變換公式為基礎，推導出了一般形式的積化和差、和差化積公式。

1.正切函數恆等變換

根據任意角的三角函數的定義，我們能夠得到正切函數與正餘弦函數的關係

那麼我們根據正餘弦函數的三角恆等變換，可以推出相應的正切函數的恆等變換

將上述等式中β替換成-β就得到正切函數兩角差的恆等變換公式

上述一系列等式為一般情況下兩角和差的變換，之後我們再根據上述等式來分析一些特殊的情況，看能否得到其他有用的結論。

2.三角函數倍角公式

我們假設β=α，將其帶入上述等式中，得到

等式(7)為我們熟知的三角函數平方和公式，(8)~(10)三個等式為倍角公式，將函數的角度減半，同時函數次數變高。

3.三角函數半角公式

觀察等式(7)、等式(8)的特點，分別進行(7)+(8)、(7)-(8)得

將上述三個等式角度縮小一半，就得到了三角函數半角公式

半角公式的特點是角度擴大一倍，同時函數次數降低。

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