線段最值裡的「三截棍」如何破解？（胡不歸問題）
線段最值，包括一條線段，兩條線段和甚至多條線段和的最值，通常解決的思路是化成一條線段，利用「兩點之間線段最短」或「垂線段最短」來解決，當然在加入圓相關概念之後，可用定理會更多。多條線段和的最值也被歸納為「胡不歸+阿氏圓」模型，當然，核心依然是上述基本定理。
題目
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x-2x-3與x軸交於點A，B(點A在點B左側)，交y軸於點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交於點E.
(1)連接BD，點M是線段BD上一動點(點M不與端點B，D重合)，過點M作MN⊥BD，交拋物線於點N(點N在對稱軸的右側)，過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD於點F，點P是線段OC上一動點，當MN取最大值時，求HF+FP+1/3PC的最小值；
(2)在(1)中，當MN取最大值，HF+FP+1/3PC取最小值時，把點P向上平移√2/2個單位得到點Q，連接AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉一定的角度α(0<α<360)，得到△A'OQ'，其中邊A'Q'交坐標軸於點G，在旋轉過程中，是否存在一點G，使得∠Q'=∠Q'OG？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q'的坐標；若不存在，請說明理由.
解析：
(1)讓我們先解決第一個問題，即MN什麼時候最大？
點M在線段BD上，MN⊥BD，從圖中可以觀察出△FMN∽△DEB，請注意，它們的形狀是相對固定的，因為這兩個直角三角形中，有一個銳角∠DBE始終等於∠FNM，於是可利用相似三角形的對應邊成比例，設置參數表示MN的長度，然後利用二次函數最值來解決，當然無論哪種方法，必要的坐標需要先求出來，拋物線解析式已知，因此可分別求出A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，D(1,-4)以備後面解題需要。
方法一：設N(t，t-2t-3)，求出BD的直線解析式為y=2x-6，則點F(t，2t-6)，可表示出FN=-t+4t-3，再根據△FMN∽△DEB，得MN:FN=EB:DB，其中EB=2，DE=4，可計算出DB=2√5，因此MN=√5/5FN=-√5/5(t-2)+√5/5，最後得到當t=2時，MN取得最大值，此時的點F(2,-2)，HF=2；
方法二：不妨作一條直線k與DB平行，且與拋物線只有唯一公共點，設這條直線為y=2x+n，與拋物線聯立方程得2x+n=x-2x-3，整理得x-4x-(n+3)=0，有唯一公共點的含義是它的判別式為零，即△=0，16+4(n+3)=0，解得n=-7，於是我們可得到交點N(2,-3)，從而得到點F(2,-2)，同樣計算出HF=2；
然後再來解決第二個問題，FP+1/3PC何時最小？
這個問題的焦點是如何處理1/3PC，在通常的線段和最值問題中，我們一般把兩條線段的和「拼湊」成一條線段，再利用兩個最值定理來求解，即在圖中尋找或構造一條線段始終等於1/3PC，它在哪呢？
第一次嘗試，解析法。
設點P點坐標為(0,p)，分別表示出PC=p+3，PF=4+(-2-p)，得到一個含二次根式的代數式，1/3(p+3)+√[4+(-2-p)]，這在初中階段基本走入「死胡同」了，失敗！
第二次嘗試，幾何轉換法。
在圖中現有條件中，有沒有兩條線段比為1：3的呢？還真有！前面已經求出的A(-1,0)，C(0,-3)，在△AOC中，兩條直角邊之比恰好是1：3，也就是說，只要以PC為直角邊，構造一個與之相似的直角三角形，豈不是解決問題了？作圖如下：
過點P作PK∥x軸，於是無論點P在何處，始終有PK=1/3PC，看上去似乎解決了，但且慢！PF+PK何時最小呢？AC是定線，點F是定點，按常理應該使用垂線段最短，可是PK不可能垂直於AC的，因此受阻於最短構型，失敗！
第三次嘗試，仍然是幾何轉換法。
至少在第二次嘗試中，我們找到了一種解決問題的思路，即尋找一條始終長度是PC三分之一的線段，雖然上述PK的構造是失敗的，但不妨礙我們在其基礎上繼續研究。
在失敗中尋找原因，有定線有定點，不垂直是硬傷，那麼我們換個思路，F是定點沒得跑，定線難道只能是AC？在前面第二次嘗試中，△PCK的兩直角邊之比為1：3，難道只能是兩直角邊的比？
稍微調整一下，我們過點P構造直角三角形，以PC為斜邊可以嗎？
所以我們需要構造一個以C為頂點，CP所在直線為一邊，正弦值為1/3的角。
方法是以PC為直徑作圓，再以P為圓心，1/3PC長為半徑作弧，與前面的圓相交於點T，如下圖：
再連接PT和CT，看下我們的初衷是否實現了，如下圖：
檢測第一條：CT是否為定直線，由於我們作圖時保證了△PCT是一個直角三角形，理由是直徑所對的圓周角是直角，且PT=1/3PC，因此sin∠PCT=1/3，由三角函數概念可得∠PCT的大小是確定的，所以判斷CT是定直線；
檢測第二條：PT是否始終為PC的三分之一，這毋庸置疑，我們就是截取它的三分之一作弧的；
至此成功構造出FP+PT=FP+1/3PC，且當F、P、T三點共線時，其和最短，理由是「垂線段最短」。
接下來可以開始求這個最小值了，過點F作FS⊥y軸，如下圖：
很容易證明△PCT∽△PFS，得到PS=1/3PF，而在Rt△PFS中，FS=2，另兩邊之比為1：3，一個直角三角形，一旦知道兩條邊的比，則三邊之比可求，因此PS:FS:FP=1:2√2:3，這也是利用三角函數的結果，所以FP=3√2/2，PS=√2/2，再來求PC=CS-PS=1-√2/2，然後得到PT=1/3PC=1/3-√2/6，最後將三段合成，HF+FP+1/3PC的最小值為(7+4√2)/3；
(2)在前一小題的基礎上，我們已經確定了點P坐標，因此Q點坐標也隨之確定，從而△AOQ的形狀大小也能確定，接下來就是旋轉的問題了。
首先P(0,(-4-√2)/2)向上平移後得到Q(0,-2)，再觀察Rt△AOQ，發現它兩直角邊分別是1和2，因此斜邊是√5，從上個圖中先看∠Q'和∠Q'OG之間的關係，前者是直角三角形的一個內角，後者是由直角頂點出發的一條線段，這令人想到直角三角形斜邊上的中線，那麼，是否旋轉至當這個直角三角形斜邊上的中線與坐標軸重合，恰好存在這樣的數量關係呢？不妨試一下，如下圖：
當∠Q'=∠Q'OG時，過點Q'向x軸作垂線Q'L，得到∠LQ'O=∠Q'OG=∠Q'，即△LQ'O也是一個三邊比為1：2：√5的直角三角形，所以點Q'坐標就比較好求了，畢竟OQ'長度始終為2，因此當點G在y軸正半軸時，Q'(-2√5/5，4√5/5)；
於是剩下的幾種情況就容易多了，分別作圖如下：
分別求當點G在x軸正半軸時，Q'(4√5/5，2√5/5)；
當點G在y軸負半軸時，Q'(2√5/5，4√5/5)；
當點G在x軸負半軸時，Q'(-4√5/5，-2√5/5).
綜上所述，所有滿足條件的點Q'坐標為(-2√5/5，4√5/5)，(4√5/5，2√5/5)，(2√5/5，4√5/5)，(-4√5/5，-2√5/5).
解題反思
有的時候，自己在備課時把一道題目的解法條分縷析，非常透徹（自以為），可是學生卻索然無味，一方面懷疑是學生的學習態度不夠端正，另一方面也必須反省自身，講解能否再精彩一些？
上網課期間，有學生玩遊戲直播，不亦樂乎，這麼多人圍觀，技術也不怎麼樣，是什麼勇氣？圍觀者是什麼心態？難道不應該看那些玩的最溜的玩家嗎？
思考多了，便也得出了結論，當然，是我自己的結論。
學生看老師講題，有時候是帶著疑問聽，這樣當然效果最好，更多的時候是被動聽的，因為老師要講這道題，所以我才去看看。
針對這種心態，講題過程如果沒有「故事」或者「事故」，是很難抓住學生注意力的，因此在講解這道題之前，我自己先嘗試以學生思路去思考，果然會遇到問題，這就引起了共鳴，學生在聽講的時候會發現，原來老師也是這麼想的，而且沒做出來！
對，老師也沒做出來，這個就很有意思了，那就看老師能不能做出來，多了幾分期待，其實就是要多這幾分期待，至少注意力集中過來了不是嗎？
嘗試有成功也有失敗，很明顯學生對翻車很有興致，畢竟在他們的解題過程中，翻車現場比比皆是，在我看來，翻車不要緊，及時吸取教訓才是重點，從失敗之處找到原因，而且失敗之後並不代表努力也是失敗的，本題中恰恰是從失敗中找到的新的思路，這也是鼓勵學生不要因為思路沒走通，而對整個過程全盤否定。
數學解題，無論一種方法最終能否成功，過程非常重要，在整個思考過程中，會調用不同的知識，引用不同的方法，這個過程就是學習的過程，而與最終結果無關。
也就是說，在未來的教學過程中，有意識地設置教學環節，讓思維貼近學生，而不是一上來就擺出一幅先知模樣，秒殺這秒殺那，情同理合的教學場景，才最具效果。
不過，這終歸是「演戲」，上課，其實也是一場場戲，演得好不好，能不能吸引學生，核心是教學設計，宛如劇本，否則一身解法，盡唱獨角戲，實在可惜。