原創 曹則賢 返樸 來自專輯賢說八道 | 專欄目錄
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系列總序
西語Mathematics，其希臘語詞源μαθηματικός本意是「好學的」意思。所謂的polymath，poly+math, 就是多方位聰明之才也（筆者正在創作的《磅礴為一》就是專門介紹polymath的）。Mathematics不能狹隘地理解為數學，它不只是數之學，它還關切幾何、拓撲、分析、邏輯等諸多內容，是一種獨特的人類智慧結晶。一個學科，按康德老師的說法，只有落實到用數學表達的份上才算得上是科學。按照康老師的這個標準，物理可以勉勉強強算是科學，這也是物理迷人、嚇人、唬人的地方。從前，數學物理是一家，有很多大神級的人物給我演示了這一點，要不我怎麼會有這種觀點呢。如今世道變了，許多對數學一竅不通的人一點也不耽誤當一個優秀的物理學家，而我依然認為物理學家是應該精通數學的。數學是自然的語言，西哲雲『大自然這本書是用數學書寫的』，自然地它也必然是自然——也有叫物理的（φυσις, physis，是希臘語的自然；而來自拉丁語的nature，自然，本意是生）——這門學問的語言。愚以為，數學是物理的語言，是物理的工具，又可能是物理的結果。會數學的數學家和物理學家所做的物理，總予我以風格輕靈且具有穿透力的印象——牛頓、哈密頓、龐加萊、克萊因、希爾伯特、閔可夫斯基、外爾、諾特等等，莫不如此。偶爾翻到那些會數學做物理之人的著作，膜拜之情就油然而生。茲鬥膽撰寫我崇拜的數理大神系列數篇，與朋友們分享我關於這些大神之神跡的點滴印象。其宗旨，是盼望後來者知道天下確實存在這種數理皆精通的神奇人物，他們是可作為我們膜拜的對象——如果不是學習的榜樣的話。限於水平，此系列只能做些浮光掠影式的人物介紹和作品羅列。關於具體數學家之某個具體學問的深入介紹，還盼方家各逞擅場，不吝賜教。
——曹則賢
撰文｜曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）
數學是人類思維的磨刀石！
研究數學是聰明人幹的活計兒，數學家也確實 (自以為) 是一群聰明人。然而，同樣是數學家，那也有天壤之別。以我的愚見，有些數學家是釘子型的，在數學的大地上碰巧能扎個坑，偶爾也有點兒深度；有些數學家是鑽機型的，在數學的大地上到處鑽探，深度足夠觸及數學的寶藏，傑出者還能繪出礦脈的分布，比如龐加萊、希爾伯特者流；還有一類數學家是挖掘機型的，管它是已知、未知的疆界他都先深翻一遍再說。阿諾德就是一位挖掘機型的數學家。
阿諾德 (Влади́мир И́горевич Арно́льд, 1937-2010)，英文寫法為Vladimir Igorevich Arnold或者Arnolʹd，是二十世紀數學物理領域中的傑出人物 (圖1) 。阿諾德出生於蘇聯時期的敖德薩，據說13歲時受叔叔啟發開始自學數學，所使用的書本包括瑞士數學家歐拉 (歐拉長期在俄羅斯工作過。俄羅斯不缺俄語的歐拉著作) 和法國數學家厄米特的著作 (想學數學啵？學點法語哈)。阿諾德在莫斯科國立大學學習期間就教於柯爾莫哥洛夫，那是一個學派領袖級人物。阿諾德於1957年在不足20歲的時候就解決了希爾伯特1900年演講中所列數學世紀問題23個中的問題第13，後來被稱為柯爾莫哥洛夫-阿諾德表示定理。阿諾德的研究領域遍及可積系統、代數、代數幾何、微分方程、拓撲、災變理論、奇性理論、辛幾何、經典力學和流體力學，等等。辛拓撲 (sympletic topology) 明確是阿諾德開創的領域，它來自辛幾何 (sympletic geometry)，再往前追溯應該是來自哈密頓正則方程
，
。就研究風格來說，阿諾德確實和哈密頓是一路的。阿諾德大學畢業後一直在斯捷克羅夫數學研究所工作，後來也受聘於法國的Paris Dauphine University。
圖1. 阿諾德，左圖攝於1957， 右圖攝於2008
筆者自1982年上大學學物理，在學微分方程和經典力學的時候從未碰到過阿諾德這個名字 (你看，每一個學渣的煉成，都是有理由的) 。大約在1990年在學習非線性動力學的時候，我第一次遇到了阿諾德舌頭 (Arnol』d tongue) 這個概念 (圖2)，不管是舌頭這個詞還是Arnol』d的這個拼法都讓我好奇，從此我算是知道了科學家裡有阿諾德這個人物。
圖2. 阿諾德舌頭，它反映的是受迫弱耦合諧振子體系鎖相的參數範圍
認真關注阿諾德其人其事，始自我2005年講授《經典力學》。阿諾德的《經典力學的數學方法》(Mathematical methods of classical mechanics) 是國際上都會推薦的參考書 (圖3)。一般大學課程意義上的經典力學，能順著牛頓力學-拉格朗日力學-哈密頓力學把個概念脈絡說清楚，那就燒高香了。阿諾德的深度，自然不會滿足於泛泛的概念介紹。都知道拉格朗日力學始於約束體系的研究，談約束怎可不討論約束條件相應的幾何問題，你看阿諾德的書就會給你講流形上的拉格朗日力學。等到進入哈密頓力學，微分形式、外微分自然是必用的語言 (其實，這也是熱力學必用的語言！)。既然都來到了哈密頓力學領域，盯著哈密頓正則方程焉能沒有研究的衝動，於是人家阿諾德順著辛幾何一路下去發展出了辛拓撲這一嶄新數學物理領域。這次參考其著作的經歷，勾起了我關注阿諾德更多著作的熱情。
阿諾德一生著作豐碩，有20種左右, 見文後所附的不完全目錄。《常微分方程》和《經典力學的數學方法》是在世界範圍的物理學習圈中流傳較廣的兩本書。對於光學專業的同仁來說，Topological Invariants of Plane Curves and Caustics (平面曲線與焦線的拓撲不變量) 一書應該列為必讀書。
圖3. 阿諾德經典著作兩種
阿諾德給我印象最深的不是他的那些高深數學研究成果—我看不懂，自然也談不上什麼印象，而是他在一般淺層次數學問題上的別出心裁。請允許我舉兩個例子。其一是三角形垂心都交於一點的證明，這是個古老的平面幾何問題。阿諾德竟然用雅可比恆等式來證明。雅可比恆等式可過渡到一個關於李括號的兩層嵌套恆等式，那應該就是微分幾何的第二比安奇恆等式，是廣義相對論的一個要點。阿諾德用雅可比恆等式證明這個平面幾何定理，給我們演示了高射炮打蚊子確實比較輕鬆這一偉大命題。其二是一元五次方程沒有有限根式解的證明。一元五次方程沒有有限根式解的問題， 經拉格朗日的思考、魯菲尼和阿貝爾等人的工作後由伽羅華用群論系統地證明了，並且由此產生了伽羅華理論。然而，1963年阿諾德竟然想到了用拓撲學的方法加以證明。證明思路基於如下觀察和定理。觀察是，方程係數繞一個環路回到原點可能會造成多項式方程根的置換。而定理是，兩個環路對易式定義的環路會造成根空間裡的環路。這樣問題就來了，如果根的置換的對易式還是根的置換的話，那代數方程解的公式就必須是嵌套根式的樣子。若根的置換的對易式之對易式一直是根的置換，那解的根式表達就必須是無限嵌套的樣子。五次方程沒有有限根式解由此得到了一個拓撲學角度的證明，思路清晰，比伽羅華理論好懂多了。此兩例的詳細內容，請參見拙著《驚豔一擊》和《雲端腳下》。
阿諾德是數理通透的大家，自然也是個教育大家。他的「論數學教學」一文，讀來十分震撼，可能對於數學教學和數學家培養特別有意義，對物理教學和物理學家培養也有參考價值 (可以批判地借鑑嘛)。該文開篇第一句即是『Mathematics is a part of physics…Mathematics is the part of physics where experiments are cheap (數學是實驗不花錢的那部分物理)』，誠哉斯言。不過，這裡的physics，按照其字面意思理解為『關於自然的學問』可能更貼切些。這句話解釋了為什麼阿諾德是個合格的數學物理學家。「Jacobi注意到，一個數可表示為四個平方數之和與單擺的運動是由同一個函數所支配的。這才體現宇宙的完美裝配嘛……」, 嗯，這樣的學問是阿諾德的喜好，也就不難理解了。阿諾德認為，「20世紀把數學和物理分成兩個學科，這是災難性的……一代數學家在不知道科學那一半的情況下成長起來，然後把醜陋的經院贗數學教給學生們。那些低能、無力理解物理的數學家讓我們老想起奇怪數字的公理化理論。數十年來是這樣的醜陋構建的數學充斥了我們的課堂, 在法國，在俄羅斯, 皆如此。…大多數大學生，甚至大多數法國的數學教授都畫不出用參數方程定義的曲線 (比如 x=t3-3t，y=t4-2t2) 。…… 他們既不熟悉黎曼面也不熟悉表面的拓撲分類，……這還是給世界貢獻了拉格朗日、拉普拉斯、柯西、龐加萊的法國嗎？」 對於那些不會數學但是以為能應用一點數學就可以拿自己當數學家的人，阿諾德寫道：「我必須提醒大家注意巴斯德的一句名言：『there never have been and never will be any applied sciences, there are only applications of sciences (從來沒有也永遠不會有什麼應用科學，只有科學的應用！)』」 這話有些刻薄了，會得罪很多人的。不過對於那些身在數學界卻不打算懂數學的人，阿諾德就更不客氣了：「Genuine mathematicians do not gang up, but the weak need gangs in order to survive. They can unite on various grounds, but the essence is always a solution of the social problem - survival in conditions of more literate surroundings (真正的數學家不需要拉幫結夥，腦子不夠使的才拉幫結夥以便混吃等死。他們能以任何理由結夥，但是本質上就是解決一個社會學問題—在有點兒文化的環境中賴活著)。」 哎呀，實在看不下去了，不能再翻譯引用了。原來一般意義上的數學家竟然是這樣的人，要是阿諾德不說，我們怎麼會知道。
阿諾德1957年即已步入一流數學家之列，1990年當選蘇聯科學院院士。
附錄 阿諾德著述目錄(有遺漏)
1966: Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infine et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits (無限維李群的微分幾何及其在理想流體動力學中的應用), Annales de l'Institut Fourier 16: 319–361.
1978: Ordinary Differential Equations, The MIT Press.
1980: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer.
1985: (with S. M. Gusein-Zade & A. N. Varchenko) Singularities of Differentiable Maps, Volume I: The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts. Birkhäuser.
1988: (with S. M. Gusein-Zade & A. N. Varchenko) Singularities of Differentiable Maps, Volume II: Monodromy and Asymptotics of Integrals. Monographs in Mathematics. Birkhäuser.
1988: Geometrical Methods in The Theory of Ordinary Differential Equations, Springer.
1989: (with A. Avez) Ergodic Problems of Classical Mechanics, Addison-Wesley.
1990: Huygens and Barrow, Newton and Hooke: Pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals, Eric J.F. Primrose translator, Birkhäuser.
1991：The Theory of Singularities and Its Applications. Cambridge University Press.
1995: Topological Invariants of Plane Curves and Caustics, American Mathematical Society (1994).
1999: (with Valentin Afraimovich) Bifurcation Theory and Catastrophe Theory Springer ISBN 3-540-65379-1
2004: Teoriya Katastrof (Catastrophe Theory, in Russian), 4th ed. Moscow, Editorial-URSS (2004).
2001: Tsepniye Drobi (Continued Fractions, in Russian), Moscow (2001).
2004: Arnold's Problems (2nd ed.). Springer.
2007：Yesterday and Long Ago, Springer.
2014: Mathematical Understanding of Nature: Essays on Amazing Physical Phenomena and Their Understanding by Mathematicians. American Mathematical Society.
2015: Experimental Mathematics. American Mathematical Society (translated from Russian, 2015).
2015: Lectures and Problems: A Gift to Young Mathematicians, American Math Society.
參考文獻
1. V. I. Arnold, Yesterday and Long Ago, Springer (2007).
2. Boris A. Khesin, Serge L. Tabachnikov, Arnold: Swimming against the tide, American Mathematical Society (2014).
原標題：《阿諾德：於尋常處證神丨我崇拜的數理大神系列之一丨賢說八道》
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