我們又來談數學了，這次我們講「微積分」，按之前的風格一樣，不給數學公式。
今天我們從一個「槓精」開始，這個「槓精」就是2400年前的古希臘數學家、哲學家芝諾（Zeno of Elea）。
他可以說是一個很高級的「槓精」，可以說是「槓精」中的「槓精」；
他很喜歡和人辯論，而且還提出了好幾個自己搞不清楚，別人也解釋不了的問題，對於這幾個問題，人們統稱叫「芝諾悖論」；
- 01 - 「芝諾悖論」
在這裡，我把「芝諾悖論」中的四個來給大家講講，讓你們體驗一下什麼叫「高級」。
悖論一：二分法悖論
運動是不可能的，因為物體在到達終點之前必須先到達路程的二分之一，而在到達二分之一之前必須到達路程的四分之一，無窮無盡，甚至運動永遠無法開始，因為這一步是邁不出去的。
悖論二：阿喀琉斯悖論
只要烏龜跑出去一段路程，阿喀琉斯才開始跑，那麼他是永遠追不上烏龜。因為烏龜先跑出10米。等阿喀琉斯追上了這10米，烏龜又跑出1米，等阿喀琉斯追上這1米，烏龜又跑出0.1米……總之阿喀琉斯和烏龜的距離在不斷接近，卻追不上。
悖論三：飛箭不動悖論
射出去的箭是靜止的。因為在任何一個時刻，它有固定的位置，既然有固定的位置，就是靜止的。而時間則是由每一刻組成，如果每一刻飛箭都是靜止的，那麼總的說來，飛箭就是不動的。
悖論四：基本空間和相對運動悖論（這個要耐心理解一下）
兩匹馬跑的總距離等於一匹馬跑的距離。如果有兩匹馬分別以相同的速度往兩個方向遠離我們而去，我們站在原地不動。
在我們看來，單位時間裡它們各自移動了一個單位Δ（Δ通常表示增量），顯然一匹馬跑出去的總距離就是很多Δ相加。
但是如果兩匹馬上有人，那麼在彼此看來，對方在單位時間卻移動了兩個Δ長度，彼此的距離應該是很多兩倍的Δ相加。
那麼，如果Δ非常非常小，小到無限接近於零，芝諾就乾脆認為Δ=0，0乘以任何數還是0，那麼1Δ＝2Δ。
好了，四個悖論已介紹完，對中國人來講，過去一直強調學以致用，因此，士大夫是不屑於回答芝諾的這種傻問題的，因為這些問題不合理，芝諾的詭辯顯然不符合我們的經驗。
根據生活常識，以上的悖論都是很明顯的錯了，但這些悖論都是基於邏輯進行推導的，從令人信服的角度出發，也需要通過嚴謹的邏輯證明才可以徹底證明這些結論都是錯的。
話說在芝諾之後的上千年裡，歐洲總有人不斷地試圖找出芝諾邏輯上的破綻，包括阿基米德和亞里斯多德，但都沒有給出好的回答。
不過亞里斯多德的思考還是道破了這幾個悖論的本質，就是一方面距離是有限的，另一方面又可以把時間分成無窮多份，以至於有限和無限對應不上。
但亞里斯多德的解釋又帶來了新問題，如果時間分成了無限份，它們還是有限的時間麼？這個問題兩千年來歐洲人一直沒有解釋得很清楚。
直到牛頓、萊布尼茨發明了微積分，有了無窮小和極限的概念，才作出了圓滿的解釋，也就是無限分割後的時間或者空間的總和可以是有限的。
- 02 - 「微積分」的誕生
「自然和自然規律隱沒在黑暗中；神說，讓牛頓去吧！萬物遂成光明。」 — 亞歷山大·波普
微積分是從初等數學到高等數學的界碑，今天人們會講，牛頓和萊布尼茨各自獨立地發明了微積分，但是這個含糊其辭的說法並沒有回答問題。
今天我也沒有打算給他們分個高低、明白，因為我不夠資格。
在牛頓和萊布尼茨的時代，他們有很多來往，萊布尼茨還專門到英國去訪問了很長時間，了解了牛頓有關微積分的思想。
因此他們的工作並不獨立，這也是後來牛頓講，對方剽竊了自己的微積分成果的主要依據。
接下來，我們就從微積分發明和完善的過程，看看不同人從不同視角是如何看待同一個問題，以及一個學科體系是如何建立起來的。
關於牛頓，他很早就有了微積分的最初想法，這大約是17世紀60年代的事情，那時他才20歲出頭，就寫出了題為《論用無限項方程所作的分析》的長篇手稿，系統地總結了他過去關於流數，也就是我們所說的導數的工作，這是微積分發展早期的重要文獻。
牛頓雖然一直在完善他的理論，並且也寫了一些關於微積分的論文，比如《流數法與無窮級數》等等，但是卻一直不公開發表他在微積分方面的核心成就，這讓萊布尼茨後來搶在了前面。否則，也就可能沒有後來的微積分發明權之爭了。
牛頓研究微積分，在很大程度上是為了解決力學問題，特別是這樣三個問題。
第一個就是有關加速度、速度和距離的關係。這三者的關係只能通過微積分來描述，也就是說，加速度是速度的導數，速度又是距離的導數。
第二個是動量和動能，以及撞擊力的關係。動量是動能的導數，撞擊力是動量的導數。
第三個是天體運行的向心加速度問題，它是速度的導數，而萬有引力則是向心加速度的來源。
從這裡可以看出，牛頓最初微積分的思想，特別是關於導數的部分，是直接服務於物理學的。
在圖中，橫軸代表時間變化，縱軸代表距離變化。
從t0這個點出發，經過Δt的時間，走了ΔS的距離，因此在那個點的速度大約是ΔS/Δt。這個比值，就是圖中那個紅色三角形斜邊的斜率。
對比左圖和右圖，你會發現如果Δt減少，ΔS也會縮短，但是ΔS/Δt的比值就更接近t0那一瞬間的速度。極限的情況則是Δt趨近於零，那麼時間-距離曲線在t0點切線的斜率就是t0的瞬間速度。
由此，牛頓給出了一個結論，時間-距離曲線在各個點切線的斜率，就是各個點的瞬間速度。
關於萊布尼茨，他除了是數學家，還是一個哲學家和邏輯學家。
他的哲學思想和邏輯思想概括起來有兩點：
首先，我們所有的概念都是由非常小的、簡單的概念複合而成，它們如同字母或者數字，形成了人類思維的基本單位。這在微積分上反映出他提出了微分dx、dy這樣無窮小的概念，我們今天使用的微積分的符號，大部分是萊布尼茨留下的。
其次，簡單的概念複合成複雜概念的過程是計算。比如在計算曲線和坐標軸之間的面積時，萊布尼茨的思想是把這個不規則形狀拆分成很小的單元，然後通過加法計算把它們組合起來。
基於這樣的哲學思想，萊布尼茨把微積分看成是一種純數學的工具——這個工具把宏觀的數量，拆解為微觀的單元，再把微觀的單元，合併成宏觀的積累。
正是因為在哲學層面對數學的探索，使得萊布尼茨的微積分要比牛頓的更嚴格一些，在這方面，萊布尼茨當之無愧是微積分的發明人之一。
- 03 - 柯西來了
大家發現沒有，萊布尼茨提到的無窮小解釋得不夠清晰（只強調很小之類的概念），因此此時的微積分的基礎並不牢固，亦即是這個無窮小量能不能等於零？
一個接近於0又不等於0的無窮小量到底是個什麼玩意？
這個時候柯西來了。
柯西是19世紀法國數學界的集大成者，他在法國數學史上的地位，猶如牛頓在英國，高斯在德國，我們今天所學習的微積分，其實並不是牛頓和萊布尼茨所描述的微積分，而是經過柯西等人改造過的，嚴格得多的微積分。
他對極限的定義是：當一個變量相繼的值無限地趨近某個固定值的時候，如果它同這個固定值之間的差可以隨意地小，那麼這個固定值就被稱為它的極限。
你看啊，柯西雖然也有用「無限趨近」，但是他只是用這個來描述這個現象，並不是用它來做判決的。他的核心判決是後面一句：如果它同這個固定值之間的差可以隨意的小，那麼它就是極限。
可以隨意的小和你主動去無限逼近是完全不一樣的。
可以隨意小的意思是：你讓我多小我就可以多小。你讓我小於0.1，我就能小於0.1；你讓我小於0.01，我就能小於0.01；你讓我小於0.00…001，我就可以小於0.00…001。
只要你能說出一個確定的值，不管你說的值有多小，我都可以讓它跟這個固定值的差比你更小。
大家發現沒有，柯西學聰明，學雞賊了，他把這個判斷過程給顛倒了過來。
以前是你要證明自己的極限是0，你就不停地變小，不停地朝0這個地方跑過去。
但是，你和0之間永遠隔著無數個點，所以你永遠也跑不完，你也就不知道你要跑到什麼時候去，這樣就暈了。
現在學聰明了，這個難以界定的東西，這個燙手的山芋我不管了，我丟給你，我讓你先說。
只要你說出一個數，你要我變得多小我就變得多小。
你如果想讓我變成無窮小，那你就得先把無窮小是多少給我說出來，你說不出來的話那就不能怪我了。
於是，柯西就這樣完美的甩開了那個招人煩的無窮小量。
在柯西這裡，無窮小量不過就是一個簡單的極限為0的量而已，一個「只要你可以說出一個數，我肯定就可以讓我和0之間的差比你給的數更小」的量。這樣我們就能把它說得清清楚楚，它也不再有任何神秘了。
- 04 - 我們得到
今天從芝諾悖論開始，談微積分不足以讓你深刻的理解或應用微積分，但通過閱讀希望理解一些對我們工作、生活有指導意義的思維。
1、證明一個結論是錯的，不可以依靠常識，因為常識也是不可靠的。正如柏拉圖所說：那一見可能是在遺忘和遮蔽中，我們見到的，可能是假象，就如同我們見到太陽圍繞地球運轉一樣。而背後合乎邏輯的論斷，或許可以幫助我們撥開迷霧。
2、芝諾的詭辯本身沒有太多的意義，但可以啟發我們在今天眾多相互矛盾的說法和理論中應該相信誰，我們應該使用邏輯去過濾信息和結論。
3、不要怕提出傻問題，符合邏輯的傻問題常常是認知升級的開始。如果之前的知識解決不了那些看似傻問題的悖論，我們可能要跳出圈子了，因為在圈子裡轉永遠解決不了問題。
4、不要指望一次就能完美地解決所有問題。我們的解決方案可能有漏洞，不要怕被別人指出來。當我們進一步彌補漏洞後，我們的認知就再次升級。