第27講 典型例題與練習參考解答:變限積分與定積分的近似計算

　　

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　　第27講：變限積分與定積分的近似計算

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　　例題與練習題

　　【注】如果公式顯示不全，請在公式上左右滑動顯示！

　　練習1：已知 求變限積分函數

　　在 上的表達式.

　　練習2：計算下列各導數：

　　(1) ；

　　(2) ，其中 連續.

　　練習3：求下列極限：

　　(1) ；

　　(2) ；

　　(3) ，其中 連續，且 , .

　　練習4：確定常數 的值，使得

　　練習5：設 在 上可導, 且 , 其反函數為 ，滿足

　　求 的表達式.

　　練習6：設函數 在 上連續，且 ，

　　證明： 在 上的描述的曲線為凹曲線．

　　練習7：設 在 上連續且 ，證明：

　　在 內為單調遞增函數.

　　練習8：設 在 上連續且遞減，證明：當 時，

　　練習9：設 在 上連續，在開區間 內可導，且 , . 證明：

　　練習10：設 在 上連續，在開區間 內可導，證明：至少存在一點 ，使得

　　練習11：若函數 在 上連續且單調增加，證明

　　練習12：設 是區間 的任一非負連續函數.

　　(1) 證明存在 ，使得在 上以 為高的矩形面積等於在 上以 為曲邊的曲邊梯形面積.

　　(2) 又設 在 內可導,且 ，證明(1)中的 是唯一的.

　　練習13：(1) 設函數 在閉區間 上可微，且 . 證明：

　　(2) 設 在 上可導， ，且 ，其中 為常數. 證明： ，其中 為與 無關的常數.

　　【注】參考解答一般僅是提供一種思路上的參考，過程不一定是最簡單的，或者最好的，並且有時候可能還有些許小錯誤！希望在對照完以後，不管是題目有問題，還是參考解答過程有問題，希望學友們能不吝指出！如果有更好的解題思路與過程，也歡迎通過後臺或郵件以圖片或Word文檔形式發送給管理員，管理員將儘可能在第一時間推送和大家分享，謝謝！

　　例題與練習參考解答

　　【注】如果公式顯示不全，請在公式上左右滑動顯示！

　　練習1：已知 求變限積分函數

　　在 上的表達式.

　　【參考解答】：(1)求 的表達式.

　　當 時，有

　　當 時，有

　　綜上可得

　　1. \hfill \cr} \right." data-formula-type="block-equation" >

　　(2)求 的表達式.

　　當 時，有

　　當 時，有

　　綜上可得

　　1. \hfill \cr} \right." data-formula-type="inline-equation" >

　　練習2：計算下列各導數：

　　(1) ；

　　(2) ，其中 連續.

　　【參考解答】：(1)直接由變限積分求導公式，得

　　(2)直接由變限積分求導公式，得

　　練習3：求下列極限：

　　(1) ；

　　(2) ；

　　(3) ，其中 連續，且 , .

　　【參考解答】：(1)由求函數極限的洛必達法則，得

　　(2)由等價無窮小和洛必達法則，得

　　(3)直接由洛必達法則，得

　　【注】該題可以直接令 f(x)=x 驗證結果的正確性.

　　練習4：確定常數 的值，使得

　　【參考解答】：因為 時， ， 故得 . 代入極限式並由洛必達法則，得

　　故得 ，從而得極限值 .

　　練習5：設 在 上可導, 且 , 其反函數為 ，滿足

　　求 的表達式.

　　【參考解答】：在已知方程兩邊對 求導, 得

　　由題設知 ，整理得

　　積分得 . 代入 ，得 ，故

　　練習6：設函數 在 上連續，且 ，

　　證明： 在 上的描述的曲線為凹曲線．

　　【參考解答】：令 ，去掉被積函數絕對值，有

　　由變限積分求導公式，得

　　因 在 上連續，且 ，所以 ，即函數 在 上的描述的曲線為凹曲線．

　　練習7：設 在 上連續且 ，證明：

　　在 內為單調遞增函數.

　　【參考解答】：直接由變限積分求導公式求導得

　　由於被積函數中 且 ，故由積分的保號性知 ，即 在 內為單調遞增函數.

　　練習8：設 在 上連續且遞減，證明：當 時，

　　【參考證明】：令

　　則 , .

　　由於 在 遞減，於是有

　　0,0 < x < \xi \cr & F'\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( \xi \right) < 0,\xi < x < 1 \cr} " data-formula-type="block-equation" >

　　由此可知 在 內單調遞增，在 內單調遞減，所以

　　從而可得

　　即原不等式成立.

　　練習9：設 在 上連續，在開區間 內可導，且 , . 證明：

　　【參考證明】：令

　　則 ，且

　　由於 , ，所以當 時， , ，於是可得 . 再令

　　則 . 並且

　　於是可得 ，即 在 上單調增加，知 特別有 ，即

　　練習10：設 在 上連續，在開區間 內可導，證明：至少存在一點 ，使得

　　【參考證明】：依據中值等式命題的一般證明步驟，有

　　將端點0，1代入，無法確定中括號內值的符號，因此不好直接考慮零值定理驗證. 所以考慮構建中括號內的一個原函數，使用羅爾定理來驗證. 容易發現積分上限函數的導數正好為被積函數 ，而 ，所以上式的一個原函數為

　　顯然 在 上連續，在 上可導，並且有

　　所以滿足羅爾定理的條件，於是由羅爾定理得

　　練習11：若函數 在 上連續且單調增加，證明

　　【參考證明】：令

　　則

　　於是

　　因為函數 在 上單調增，最後的被積函數 中 ，所以 ，所以積分的保序性，可得 ，即函數 單調增加，所以

　　從而有 ，即原不等式成立.

　　練習12：設 是區間 的任一非負連續函數.

　　(1) 證明存在 ，使得在 上以 為高的矩形面積等於在 上以 為曲邊的曲邊梯形面積.

　　(2) 又設 在 內可導,且 ，證明(1)中的 是唯一的.

　　【參考證明】：(1)結論等價於證明存在 ，使得

　　令 ，則 在 上連續，在 內可導，且 ，所以由羅爾定理，存在 ，使得

　　成立，即(1) 結論成立.

　　(2)取 ，則

　　由於 ，所以

　　即函數 在 上嚴格單調遞減，所以 是唯一的.

　　練習13：(1) 設函數 在閉區間 上可微，且 . 證明：

　　(2) 設 在 上可導， ，且 ，其中 為常數. 證明： ，其中 為與 無關的常數.

　　【參考證明】：(1)由不等式證明的一般思路，令

　　則 ，且

　　故 單調增加，即

　　故原不等式成立.

　　(2)由題設不等式求導展開且由 ，整理得

　　兩端在區間 上積分，得

　　移項整理得

　　由對數函數性質，得

　　於是令 ，並由對數函數的單調性，得

　　故所證不等式成立.

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