自然常數e到底有多少秘密?至今沒研究透徹,它到底神秘在哪兒

在數學王國中，有五個數非常重要，它們所包含的內容和所承擔的作用，遠遠超過了數值的本身，因而比一般數字顯得更為神秘，這5個數就是0、1、π、i和e，其中e的作用更為突出。

像π一樣，e也是一個無理數。它的數值是e=2.7182818459…無限而不循環。在一開始，它偶然出現在計算結果裡，但隨著科學的發展，人們逐漸發現e的用處很多，特別是如果以它為「底」取自然對數時，可以使很多的算式得到簡化，到了後來，它的應用就更加廣泛了。可以說，e包羅萬象！

01 e引入到數學研究中

真正把e引入到數學研究中來的是瑞士數學家雅各·伯努利。1654年12月27日雅各布·伯努利出生於瑞士巴塞爾的一個商人家庭。在科學史上，伯努利這個家族可真稱得上是學者雲集。在祖孫三代中，出了8位世界級的著名數學家。在這8人中，還兼有物理學家、天文學家和地理學家。他們的成果包括：無限級數計算、微積分和微分方程運算的開創者，統計學概率論的開拓者、「大數定律」的創建者，在無限不確定性抉擇難題中，那個令人頭疼的「聖·彼得堡悖論」的提出者、流體力學「伯努利定理」的創建者，曲線研究的著名學者等。在當時的科學界，伯努利家族可算是顯赫一時。

從左到右：雅各布·伯努利，約翰·伯努利，約翰·伯努利二世，丹尼爾·伯努利

自青少年起，雅各就對數學和天文學產生了濃厚的興趣。1676—1682年這6年間，為學習當時最先進的數學和科學，他遊學於整個歐洲，先後跟隨羅伯特·波義耳和羅伯特·胡克、克裡斯蒂安·惠更斯、笛卡爾等多位大師從學，精讀了弗蘭斯·萬·叔本華、伊薩克·巴羅和約翰·瓦利斯的論文和著作。早年的求學經歷使他受益終生。

1687年，雅各擔任巴塞爾大學的數學教授，以後終生工作在這裡。1685年，雅各出版了邏輯學和概率學的書，1687年，又出版了一本幾何學，在這部書中，他證明了任意三角形可以被兩個彼此垂直的線分割成面積相等的4塊。1682年和1704年，雅各共發表了5篇關於無限數列研究的論文，1689年又發表了最重要的無限級數研究成果以及統計學中的大數定理等。

1690年，在雅各剛引入e時，他對e的估計值僅到小數點後面的第一位；到了1748年，歐拉使用這個值時，它已經精確到了小數點後的第23位；1949年，美國物理學家約翰·馮·諾依曼，利用計算機，把e計算到了小數點後第2010位；到了2010年7月5日，e向世人現出了更為清晰的面貌，到達了小數點後的第1000000000000位！有一點可以肯定，無論經過怎樣的艱苦努力，人類也不可能看到它的「真值」。看來，自然界之所以不可能完全清晰地顯現出它的真實面貌，其內在原因之一就蘊含在像自然數e和π這樣的無理數中，這就是大自然的神秘所在！

02 什麼是e？簡單說，e就是增長的極限。

1683年在研究無限級數時，雅各曾討論過一個有趣的「複利」問題，竟然從結果中發現了e！複利問題本是人們日常生活中常遇到的事，例如存入銀行一筆錢，到期以後，本金加利息一併變成新的本金按原來的利息接著續存，這就叫「復計利息」，簡稱「複利」。一般人可能以為，照這樣存法，無限地存下去，盈利會越來越高，以致達到無窮，但經雅各計算，情況卻並非如此。他把這個問題編寫成一個無限級數，從中證明出，如果當初存入的錢數是1，當存的次數無限多時，盈利的總和竟然趨向一個有限的值，而這個值就是e！1690年，伯努利把這個結果發表在他的系列論文中。

若複利一次的時間換為小時、分鐘、甚或秒，那麼可以想見，上述的數值會越來越大。事實上，複利的時間間隔越短，那麼年終的本利和就越多。於是一個問題出現了：如果是連續地（也就是說在每一時刻）計算年利率時，我們能否期望自己錢的數量會增長到一個天文數字甚至會超過所有界限呢。令我們沮喪，令銀行家高興的是，情況並非如此。一年之後，這個數值越來越接近於歐拉數e。這一數值約為2.718281828459045235360287471352662497757247　……

這是一個無限不循環小數。事實上，我們前面已經提到過，它不僅是一個無理數，而且還是一個超越數。

此後很多年的1731年11月25日，大數學家裡昂哈德·歐拉在寫給數學家克裡斯蒂安·哥德巴赫的信中談到了e這個數，並給它起了個名字，叫它「自然數」，並把它作為對數的「底」取對數，從此有了自然對數。e公開出現是1736年歐拉發表在《力學》雜誌上的一篇論文裡，在此以後，e開始在數學上有了自己的位置，並作為一個標準常數被引用起來。

令雅各驚訝的是，e這個奇特的數不只出現在他所計算的「複利」中，還屢屢地出現在其他無限級數求和，例如∑(1/n)、∑(1/n2)的級數求和中；此外在概率的計算中，雅各還發現了一個無限級數求和的值是e的倒數。

接著在一個被稱作「帽子保管問題」的無限級數求和中，這個e值又再次出現了。

「帽子保管」問題曾是當時數學界都感興趣的話題，由於引入了e值，使得雅各最終把它計算出來。這個問題非常有趣，它說的是，有很多客人被邀請去參加一個聚會，每個人進屋前都要把帽子交給看門人，由他把帽子放到各自的箱子裡。本來在每個箱子上都標好了客人的名字，帽子應該對號入座，但是這位看門人並不認識這些客人，他放帽子的時候就隨意亂放，並沒有按照名字放到該放的箱子裡。於是，問題就出現了，取帽子的時候，所有客人最多需要選多少次，才能把各自的帽子找出來呢？當然，第一位取帽子的人是最困難的。這也是一個級數求和的問題。當客人數趨於無限大時，在雅各的計算結果中，驚現出了e。

接著，在標準正態分布的計算中，他再次發現了e值。在雅各數學研究的後期，他非常喜歡研究各種曲線，包括拋物線、雙曲線和螺旋線等。研究雙曲線函數y=1/x時，在計算曲線下所包含的面積時，又與e值相遇。

當x趨於正無窮大或負無窮大時，「1加x分之一的x次方」這個函數表達式（1+1/x）^x的極限就等於e，用公式表示，即： lim（1+1/x）^x＝e （x趨於±∞） .

實際上e就是歐拉通過這個極限而發現的，它是個無限不循環小數，其值等於2.71828……。以e為底的對數叫做自然對數，用符號「ln」表示。

03 螺旋線與e

後來雅各研究螺旋線，再一次與e不期而遇。螺旋線有5種形式，對數螺旋、阿基米德螺旋、連鎖螺旋、雙曲螺旋和迴旋螺旋，其中對數螺旋是自然界中最普遍存在的。在研究對數螺旋線時，雅各發現了一個非常有趣的現象，對數螺旋線的漸近線也是對數螺旋線，而在對數螺旋線各點切線的極點也構成了對數螺旋線，在一種螺旋結構中，居然蘊含著多個層次的螺旋結構，這一絕妙特點，使他驚嘆不已！

對數螺旋線也深受藝術家們寵愛。英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲曾深切感到，逐漸向中心收縮的螺旋形有其難以言表的美！螺旋線常出現在名畫中或先人留下來的壁畫中，它們代表了先人對整個宇宙的想像，也宣示了心中對美的感受，而主導螺旋線形體的正是e！看來人類對螺旋線的寵愛有其內在的數學原因。

在生物學中，海螺殼的結構、向日葵種子的排序、人的指紋和發旋都呈現出螺旋的特點。作為生命現象基礎物質的蛋白質，在參與生命體的整個過程中，它的功能如此高效，其奧秘也與它的螺旋結構有關。蛋白質的多肽鏈條就是螺旋狀的，決定遺傳的物質——核酸結構也是螺旋狀的，而這些螺旋結構中的奧秘都是由e在左右著。

e同樣出現在物理學中，在不知不覺中掌控著自然命運的熱力學第二定律中存在著e；在自然界中，從螺旋星雲和螺旋星系、颱風颶風的氣流形，到一縷青煙嫋嫋上升、老鷹在空中翱翔，都有e的存在；當一首樂曲聽起來很美時，仔細研究，也能從節律中找到e；樂音為人所寵愛，而「樂音」產生的空氣振動也是一種螺旋尾跡；甚至人類經過漫長歲月的進化，其聽覺器官內耳的結構也是螺旋狀。似乎e包羅世界萬象，無所不在。在人類所寵愛的核心中總是e在起著作用。儘管所在的處所不同，卻殊途同歸地都與這個自然數e掛上了鉤。

在雅各的一生中，他最為摯愛的就是對數螺旋線， 對數螺線具有許多有趣的數學性質，對對數螺線進行了許多研究，發現等角曲線很多變換（比如等比例放大）後仍然是原先的等角曲線。對於這些性質伯努利感到十分驚訝，在遺囑裡吩咐把其刻在自己的墓碑上，還加上了一句話——「Eadem mutata resurgo.」（「縱然改變，仍然故我」，或譯 「改變之後，我將原地復活」）因此對數螺線也叫伯努利螺線。

滑稽的是為他雕刻墓碑的工匠也許是文化水平不高，也許就是嫌麻煩，最後給墓碑上雕刻的圖卻是阿基米德螺線。

數e和許多自然現象、社會現象有聯繫，可以從許多不同的話題扯上去。除了上述計算利息外，研究生物種群的增減、估計放射性元素蛻變量、氣壓公式（氣壓隨高度的不同而變化）、物體冷卻的規律、計算火箭速度的齊奧爾科夫斯基公式……都有它的身影出現，其應用可謂舉不勝舉。

事實上，e的作用並不比π遜色，它在數學、物理學、天文學和其他各科學部門都有很大應用。只不過，這些應用由於需要更多的數學或其他背景知識，我們無法在這本書中多加闡述就是了。我們這裡所要指明的是：由於數e在數學與其他方面的廣泛應用，它成為數學中最重要的數之一。