聲子、電子、中子、光子系列之聲子篇

 

聲子、電子、中子、光子系列之聲子篇

 

物理學中有各種「子」，它們詮釋著這個五彩繽紛的花花世界，它們每一份"子"都吸引著無數的科研人員。它們有許多相似之處，其中聲子（準粒子）和光子是玻色子，電子和中子是費米子；聲子有色散關係，電子有能帶，中子有能譜，光子有光譜；它們都有相應的波爾茲曼輸運方程，其輸運性質揭示了熱傳導、電導、核反應的臨界質量（文藝一點用反應堆功率分布）的本質，光子的輸運特性更是對放射性治療、射線成像、聚變的研究等具有重要的意義。好吧，其實，這裡是要詳細闡述聲子的概念.

 

 

一、晶格振動的經典理論

 

 0. 前言

 

我們知道由電子決定的性質，靜止晶格模型一般都能較好地描述，但經典理論告訴我們只有在絕對溫度零度時，原子才是靜止的，量子理論表示即使在絕對零度，根據測不準原理，靜止模型也不成立，有所謂的零點振動。所以只要原子不是無限重，或沒有無限大的力限制原子運動，靜止晶格模型都只是一種近似。

 

    如果晶體中原子固定在平衡位置，晶體具有嚴格的周期性，根據Bloch定理，電子因在晶體中運動無散射、無阻尼機制，電導率將變得「無限大」。這是靜止晶格模型的困難！

 

    只有在考慮晶格振動的情況下才能得出熱容Cv與溫度T的三次方成正比，靜止晶格模型只計電子對熱容的貢獻，所以在10K以下時才有Cv ~ T。物質的密度與溫度有關，導致靜止晶格模型不能考慮熱膨脹的問題。

 

晶體中原子熱振動的描述

 

1).一維單原子鏈

假定原子在平衡位置附近只有很小的的偏離並且假定平衡位置仍呈周期性排列。

 

 

假定只有近鄰原子間存在相互作用，原子間的相互作用勢為V(r)

 

 

將勢能函數在平衡位置附近作泰勒展開：

 

保留位移的二次項，略去高階項。得原子間的作用力：

 

這裡假定了力常數Beta為已知（唯象的胡克定律）。得到了力與位移的線性關係，故上述近似稱為簡諧近似。

 

處理小振動問題一般都取簡諧近似，但簡諧近似就意味著沒有熱膨脹，沒有熱傳導（仔細思考為什麼？），而對於一個具體的物理問題是否可以採用簡諧近似，要看在簡諧近似條件下得到的理論結果是否與實驗相一致！考慮高階項的作用稱為非簡諧作用。

 

   應用牛二定律：

 

（K為上面的Beta）

 

這是N個聯立的線性齊次方程。

 假設所有的原子按相同的振幅和頻率振動（單頻試探解）

 

 

這頻率與波矢之間的關係是晶格振動中最重要的關係，即色散關係。其地位相當於能帶中E~k關係。

 

 

 

布裡淵區、長波極限和動力學矩陣的內容省略！下面對一維單原子鏈的解再進行深入的討論：

從解的形式可以看出，原子的位移不是獨立的，晶格振動是一種集體的振動，對應某個給定頻率，需要N個原子互相有關聯的位移來描寫具有這個頻率的集體振動，同樣位移是各種不同波矢、不同頻率的格波的迭加。波矢的取值由周期性邊界條件決定，晶體原子的振動，可總結為關于波矢是獨立的而對於位移則不獨立！

 所以用上述方法來確定晶體中各個原子的空間坐標隨時間的變化，將會使描寫晶格振動變得非常複雜，因為各個原子相互之間是關聯的。必須提出更簡便的方法來描述這種振動，如果把所有有關聯的原子位移用一個整體的位移來描寫，即把所有原子的位移以某種形式組合起來，用這種整體位移來描寫這個本質上是獨立的振動，這就是簡正坐標。

 

為什麼可以選擇一個正確的坐標系使系統的動能函數和勢能函數具有簡單的形式？我們知道動能函數T是正定的，根據線性代數理論總可以找到這樣的變化使動能和勢能同時化為平方項之和。用分析力學的方法寫出系統的哈密頓量H：

 

 

 (關於簡正坐標的化簡可參閱相關書籍)

 根據經典力學寫出的哈密頓量可以直接用來作為量子力學分析的出發點，寫出波動方程：

 

 

這表示的是一系列無相互作用的簡諧振子，可以分離變量：

 

 

本徵值為：

 

 

振動的能量是分裂的，量子化的，這樣的量子諧振子稱為聲子即晶格振動的能量子。一個簡正振動並不是表示某一個原子的振動，而是整個晶體所有原子都參與的振動頻率相同的振動，這種集體的振動稱為振動模！

 

利用聲子的概念處理晶體中相互作用問題就比較簡單明了，比如：

1.晶格振動與晶格振動的相互作用；

2. 晶格振動與電子的相互作用；

3.晶格振動與光子的相互作用等

 

二、晶格振動的量子理論

刀刀太懶了，省略！！！！！！