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完全平方公式在初中數學中有著很多重要的應用，我們將分兩次把完全平方公式的一些常見題型和解題技巧分享給大家.
一、我們先來研究一下完全平方公式的幾個關鍵變式：
(a+b)²=a²+2ab+b².
(a-b)²=a²-2ab +b².
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²).
(a+b)²- (a-b)²=4ab.
這四個公式中包含了：a+b，a-b，a²+b²，ab. 只要知道其中的任意兩個式子，就可以求出另外兩個式子.
二、完全平方公式還有個非負性：
(a+b)²≥0，
(a-b)² ≥0.
如果(x+b)²+(y-c)² =0，那麼x=-b，y=c.
三、用配方法配出完全平方公式
如：a²+6a+10
=a²+2×3a+3²-3²+10
=( a²+2×3a+3²)-3²+10
= (a+3)² +1.
四、例題
例1 已知(a+b)²=7，(a-b)²=3，求a²+ab +b²的值.
【分析】結論中的a²+ab +b²，與完全平方公式還有一點區別，如果直接用公式，無法實現. 觀察這個式子的特點發現，式子裡蘊含了a²+b²，ab兩個式子，我們分開求這兩個式子，題目就變得簡單了.
解：∵(a+b)²=7，(a-b)²=3，
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²)，
∴7+3=2(a²+b²)，
∴a²+b²=5.
∵(a+b)²- (a-b)²=4ab，
∴7-3=4ab，
∴ab=1.
∴a²+b²+ab=6.
例2 已知：m+n=3，mn=2，求m²+n²，(m-n)²的值.
【分析】m²+n²與m+n，mn之間的關係，可以用公式(m+n)²=m²+n²+2mn建立；(m-n)²可以用公式：(m-n)²= m²+n²-2mn求得，也可以用公式：(m+n)²- (m-n)²=4mn求得.
解：∵m+n=3，mn=2，
(m+n)²=m²+n²+2mn，
∴3²=m²+n²+2×2,
∴m²+n²=5.
∴(m-n)²= m²+n²-2mn
=5-2×2=1.
【分析】此時要通過條件，求出a+b和a-b，觀察條件的特點，我們發現，可以使用公式(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab +b²分別求出a+b和a-b.
解：∵a<b<0，< span=>
∴ab>0.
∴(a+b)²= a²+b²+2ab=6ab+2ab=8ab，
(a-b)²=a² +b²-2ab=6ab-2ab=4ab.
例4 已知x²+y²-4x+8y+20=0，求x+y的值.
【分析】看到此題，第一反應往往是想通過對那一長串式子進行變形，變化出x+y. 但是，通過多次嘗試，一般是不能實現的. 這個時候，我們還可以考慮分別求出x和y，然後再求x+y. 像這種一個式子裡同時含有兩個字母，而且每個字母都有平方的情況，我們考慮用完全平方公式對它進行變化. 常用的方法就是「配方法」，把完全平方公式配出來.
解：x²+y²-4x+8y+20
=x²-4x+2²-2²+y²+8y+4²-4²+20
= x²-4x+2²+y²+8y+4²
=(x-2)²+(y+4)²
∴條件可以變化為：
(x-2)²+(y+4)².
∴(x-2)²+(y+4)²=0.
∵(x-2)²≥ 0， (y+4)²≥0，而它們相加為0，
∴只能有(x-2)² =0， (y+4)²=0.
∴x=2，y=-4，
∴x+y=-2.
例5 求證：無論x為何實數，代數式x²-4x+5的值恆大於零.
【分析】觀察這個式子，x²-4x+5裡存在著完全平方公式，或者說，我們可以用「配方法」給這個式子配出完全平方公式.
證明：x²-4x+5
= x²-4x+2²-2²+5
= (x²-4x+2²)-2²+5
=(x-2)²+1.
∵(x-2)²≥0，
∴(x-2)²+1>0.
∴無論x為何實數，代數式x²-4x+5的值恆大於零.
例6 計算：503².
【分析】此題如果直接計算，計算量比較大，我們可以考慮使用完全平方公式.
解：503²=(500+3)²
=500²+2×500×3+3²
=250000+3000+9
=253009.
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