此消彼長，可能對於很多孩子比較陌生，聽上去是一個成語，要對其進行解釋，貌似變成語文課了，不過即便語文老師來講這個詞什麼意思，也並不能反映其數學涵義。
假如從「文藝」的角度去理解這個詞，會解釋成：失去了什麼不要緊，總歸會有獲得的，人生就是一次次潮漲潮落。
可是這個詞在數學上的涵義並非如此，它用來解釋下面這句話是再好不過的：
「假如一個整體恆定不變，其中某個部分減少，那麼另一個部分就會增加。」——此消彼長。為什麼說它是小學必須入門的一個底層邏輯呢？
既然是底層邏輯，自然牽連甚廣，比如我們學習加法的時候，孩子們都會背誦湊十，4+6=3+7，這樣的等式卻沒有深入去講，這裡不就體現出了」此消彼長「麼？，一個數減小，另一個數增加；再比如我們學習乘法的時候，4*6=3*8，學校老師也讓孩子們玩24點，玩得熟練的孩子，恐怕對於幾乘幾等於24已經非常熟悉了，但是學校老師也沒有花功夫去講一個分量減少，那麼另外一個分量會增加（或者一個因數減小，另一個因數會增加）的原理。
學校課本前面1-4年級都集中在計算上，對的，就是單純計算，搞了快四年的豎式運算，最後四年級下才小氣吧啦地教了「運算律」（有些版本是四年級上學的），交換律，結合律，分配律這些難道不是應該在前面學習計算的時候就去教的嗎，搞到四年級才小心翼翼講出來，而且講了半天運算法則，性質，卻絲毫沒有點出「此消彼長」的性質，真的令人納悶。
（選自人教版四年級下）
且看上面人教版裡對於四則運算關係的總結，把關係式列了一下，叫總結各部分關係嗎？也難怪，孩子們學習到了這部分很頭疼，成天背誦記憶各種名詞，什麼被減數，被除數，商。。。頭腦中充斥著名詞，但是對於名詞背後的相互變化的關係很少理解應用。
也難怪，無論是哪個年級的孩子，心中主動有「此消彼長」邏輯的寥寥無幾。課本如此，也就只能依靠老師去引導孩子了，至於有多少老師能夠在教學中引導孩子去觀察算式之間的關係，總結出「此消彼長」的規律，那我就真的不知道了，家長們，老師們可以自檢。
我最近遇到的幾個問題，也恰好都與此消彼長有關。
第一個例子
先來說說有關於「一半多幾」的問題，我記得以前寫過，當時講的是對數學語言的理解，有些人覺得「一半多幾」是一個不嚴謹的表述，容易引起歧義，我想說的是，這是數學上很常見的表述，若是邏輯清晰，絕不會理解成別的涵義。
今天我們不去討論語言表述的問題，而是聚焦在為什麼孩子搞不清楚一半多3，剩下來的就是一半少3的問題。
題目是這樣的：「有一箱橘子，大毛吃了全部的一半多1個，二毛吃了剩下部分的一半少3個，三毛吃了5個，最後剩下3個，問這箱橘子一共有多少個？」這是一道典型的還原問題的題目，也就是逆向推理就可以了，但是當孩子推理到3+5=8的時候，再往前推，卻變成（8+3）*2了。
「二毛吃了剩下部分的一半少3個」，假如我們把這句話裡「剩下部分」看成一個整體，它分成了兩個部分，一個部分是二毛吃的，一個部分就是剩下的。既然二毛吃了一半少3個，那麼反過來剩下就應該是一半多3個。
這裡運用的就是此消彼長的邏輯，如果把整體分成兩個相等的部分，也就是一半一半，如果其中一個部分少了3個，那麼另外一個相應的部分自然是多3個。此處，我省略畫圖，家長自己理解其中意思，看看是否可以通過畫圖讓孩子理解。
這樣分析就清楚了，剩下的是一半多3個，是8個，那麼整體就是（8-3）*2=10。
第二個例子
再來看看盈虧補償問題：「火車長400米，通過一座大橋（從車頭上橋至車尾離開橋）需10分，若每分鐘火車多行100米，則只需要6分鐘即可通過大橋，問大橋長多少米？」孩子能夠理解過橋問題，對於總路程也能搞清楚是包括橋長和火車長，但是家長在100*6=600後，不知道怎麼解釋應該600/4=150，這個150還要乘回原來的10分鐘，150為什麼是原來的速度呢？
這是家長提的問題，這裡的底層邏輯就是乘法結構裡的此消彼長，互為補償：時間縮短了，速度增長了，一個分量減少，另一個分量就增加。
為什麼呢？
在這道題目裡，每分鐘增加100米，6分鐘跑完全程，自然增加了600米，這個600米在原來的情境中，是如何補償的？——是依靠時間多了4分鐘，也就是按照原來的速度跑4分鐘（時間上的增加導致的路程增加），就相當於現在每分鐘增加100米一共6分鐘總體增加的600米（速度上的增加導致的路程增加）。
時間上的增加導致的路程增加=速度上的增加導致的路程增加這裡的乘法結構是一個二維的，速度*時間=路程，因此會比加法更加複雜一點，在二階段三階段課程中，我分別用不同的圖式來表示過這類乘法中的此消彼長中的補償關係，這裡省略畫圖，家長可以依據我上面描述的邏輯，自己來畫圖給孩子看。
第三個例子
然而如果我們用此消彼長的底層邏輯來看，就變得十分簡單：
A+12=2B
A+12=B+B
如果A>B，那麼B>12，因此B=13
這個道理就是開頭我們講到的加法等式的性質：4+6=3+7，一個部分減小，另一個部分就要增大。
第四個例子
其實有關於「此消彼長」的底層邏輯不一定非要到小學才接觸到，如果成人希望提高孩子抽象思維的能力，那麼就要促進他們主動觀察「事物關係」，發現規律，總結規律。
在不同年齡段上，我們都可以採取一些方法，讓孩子逐步接近本質。
比如說，在孩子理解「此消彼長」之前，我們應該從「平衡」這個角度出發，讓孩子理解兩個事物之間存在著一種動態變化關係。
幼兒園小朋友從運動上就能感受到平衡，如果走獨木橋，快要倒向另一邊時，身體本能會對側發力試圖糾正到平衡狀態；比如小朋友搭木質積木的時候，只要經驗足夠豐富，就知道如果搭「高樓」。要倒向一邊的話，可以在另一邊加積木或者移動一下積木。
這些都是經驗性的，而且是非常寶貴的經驗。只是，並不是所有孩子都能夠從經驗性的現象中自己察覺本質關係，因此一部分孩子需要成人引導去深入思考這裡面的關係，把不同的現象都歸結到一點上，去理解「平衡」。
比如我給低幼數學啟蒙課設計的一個主題就是「平衡」，在這個主題裡，會讓孩子們通過各種活動來理解平衡的原理，通過各種現象來觸及如何從不平衡到平衡。
我舉例一個相對抽象一點的遊戲，對於學齡後一二年級孩子，若是這裡的底層邏輯比較薄弱，也不妨可以做做。
（選自低幼數學啟蒙秋季第六主題）
活動背景是這樣的，我們把一天的時間平均分成三類，每一類是8小時。
如果三類時間相對是平衡的，就比較合理，看看我們小朋友每天這三類時間的安排是怎樣的？
在這節遊戲課裡我提供了家長几種數學任務（請注意這裡是針對低幼兒童的），相對比較具象，可以通過數格子，一一對應的方法，來比較數量多少。
和今天我們主題匹配的一個遊戲是：如果第三天，我們統計了小朋友睡眠時間11個小時（藍色時間），黃色時間是5小時，那麼紅色時間應該是幾小時呢？
一二年級孩子可能會用減法：24-11-5=8.
但如果我們考一個不會減法，更不理解連減情境的孩子呢？
我們可以通過移動補償的辦法來解決，因為平衡點是8小時，我們以每一類時間的平衡點8為標準，把藍色部分多出來的3，移動到黃色部分，發現正好也可以補到8，那麼剩下來紅色部分也就是8小時了。
這裡移動藍色部分給黃色，就是運用了此消彼長的原理，舉例湊十：
第五個例子
奧數中經常看到「移多補少」，培訓班特別喜歡講這樣的套路，以至於很多孩子嘴巴上也會嚷嚷著「移多補上」，但是實際上並不知道如何應用，脫離了熟悉的題目情境，也就全然想不起來應該怎麼補償了。
對於高年級孩子，你可以鼓勵孩子用多種方法解決，但是下面這種方法是一定要學習的（在三階段課中稱為：平均差值線策略）。
（選自數學微課三階段課程）
課程我不詳細講了，這個策略的思想依然是「此消彼長」的底層邏輯，只不過運用到了求平均數的問題中。
因此我們只要算每個部分與平均值相比的差值就可以找到解決方案了。
好了，今天可以說把「此消彼長」這個底層邏輯徹底分析了一下，這個名詞解釋以後我就不講了，家長不懂就查看這篇文章就可以了。其中的例子也覆蓋了從幼兒園到高年級。
看完這篇文章你也能理解，培養孩子數學思維，是一個系統工程，我們需要在教孩子知識點的同時，注意不斷推進孩子抽象思維能力的發展，需要漸進地來促進他們邏輯思維的發展。
只有你不斷重複底層邏輯，在不同的知識點裡都把本質歸結到某個點上，才能有效提高孩子融會貫通的能力，舉一反三的能力。如果只是就知識點講知識點，卻無前後聯繫，似乎在講完全不同孤立的知識，那麼孩子學習數學之路就會越來越辛苦，因為頭腦中需要累積記憶的知識、套路越來越多，它們沒有被精簡壓縮，反而會成為負擔。
歡迎家長們加入我的【數學思維交流群】
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（請備註孩子年級，比如：中班，一年級，五年級等等）