知函數f(x)是偶函數則f(-ln3)和f(2^m)大小?統一戰線是解題關鍵

2020-12-17 玉w頭說教育

原題

原題：定義在R上的偶函數f(x)=2^|x-m|-1，記a=f(-ln3)，b=f(log5底數為2)，c=f(2^m)，則下列選項正確的是？

A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.c<b<a

圖一

這道題要想比較a，b，c三者之間的關係要先求出f(x)的解析式。

求出f(x)的解析式

因為函數f(x)=2^|x-m|-1是在定義域R上的偶函數，定義域R已滿足原點對稱，所以只需要函數f(x)滿足f(x)=f(-x)即可。

所以有2^|x-m|-1=2^|-x-m|-1，所以有|x-m|=|-x-m|，將該式兩邊平方得到x^2-2xm+m^2=x^2+2xm+m^2，所以m=0。

所以f(x)的解析式為f(x)=2^|x|-1。

圖二

求出f(x)的解析式後，要想比較a,b,c這三者之間的關係，要將這三者內的變量值轉化成同一個單調區間內。

將a,b,c三者的變量值轉化

當x>0時，解析式f(x)是單調增區間，所以要想比較a,b,c三者之間大小的關係，就可以將其對應的自變量轉化在同一個區間內，再根據增區間的原則，即自變量的值大的該解析式的值就大，從而得到a,b,c的大小關係。

因為函數f(x)為偶函數，所以有a=f(-ln3)=f(ln3)，b=f(log5底數為2)，c=f(2^m)=f(2^0)=f(1)。

所以我們只需要比較1，ln3，log5底數為2大小關係即可，這裡就涉及了對數不同底數的比較大小，對於不同底數的對數比較大小需要藉助中間變量，所以有1<ln3<2<log5底數為2。

根據函數f(x)在(0，+∞)是增函數，又因為1<ln3<2<log5底數為2，所以就有f(1)<f(ln3)<f(log5底數為2)，所以c<a<b。

圖三

總結

對於這樣的題，一般都是先求出f(x)的解析式，然後再求出f(x)的單調區間，最後將要求出要比較大小的數值的自變量轉化成同一個單調區間內，根據函數的單調性來判斷其大小關係。

詳細講解「不同底數，判斷兩個對數的大小關係的問題」

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