證明f(x)=m兩實根有x2-x1≤1/2+m-me/(1-e)成立,這類題入手點須知

2020-12-11 玉w頭說教育

原題

原題：已知函數f(x)=(x+b)[e^(2x)－a](b>0)的圖像在點(－1/2,f(－1/2))處的切線方程為(e－1)x+ey+(e－1)/2=0.

⑴求a,b；

⑵函數f(x)的圖像與x軸負半軸的交點為P，且在點P處的切線方程為y=h(x)，函數F(x)=f(x)－h(x)，x∈R，求F(x)的最小值；

⑶關於x的方程f(x)=m的兩個實數根x1，x2，且x1<x2，證明：x2－x1≤(1+2m)/2－me/(1－e)。

圖一

這道題難度最大的就是第三問，前兩問我們可能還知道該如何入手去解決，但是第三問卻讓很多同學摸不著頭緒，不知道求解的方向。

其實第三問是需要我們去構建函數的，但是在構建函數前，還是先要解決前兩問的問題，因為要想解決第三問的問題，是離不開前兩問問題的結論的，也就是說，前兩問問題的求解過程都可以屬於求解第三問的內容。

求解第一問

第一問是要求a，b的值。

要想求解a，b的值，我們只需要根據函數f(x)上的切點即在該函數f(x)上，也在該函數f(x)在該點的切線上，從而列出方程求解出a，b的值。

因為函數f(x)在點(－1/2,f(－1/2))處的切線方程為(e－1)x+ey+(e－1)/2=0，所以點(－1/2,f(－1/2))即在切線方程(e－1)x+ey+(e－1)/2=0上，也在函數f(x)=(x+b)[e^(2x)－a](b>0)上。

所以將點(－1/2,f(－1/2))代入切線方程(e－1)x+ey+(e－1)/2=0得到f(－1/2)=0。

所以將點(－1/2,f(－1/2))代入f(x)=(x+b)[e^(2x)－a](b>0)，得到f(－1/2)=(b－1/2)(1/e－a)=0，即b=1/2或者a=1/e。

注意：這裡還需要驗證b=1/2或者a=1/e是否都成立，因為這裡給出的b>0，當a=1/e時，是否也能夠滿足b>0成立。

驗證b=1/2或者a=1/e是否都成立。

因為f＇(x)=e^(2x)(2x+2b+1)－a，所以f＇(－1/2)=2b/e－a。

又因為f＇(－1/2)恰好是切線方程(e－1)x+ey+(e－1)/2=0的斜率，即K=－(e－1)/e=－1+1/e。

所以有2b/e－a=－1+1/e。

若a=1/e，則b=(2－e)/e<0（舍），所以b=1/2，a=1.

求解第二問

第二問是求解函數F(x)的最小值。

要想求解函數F(x)的最小值，就要先得出函數F(x)的解析式，然後對函數F(x)進行求導來判斷該函數F(x)的單調性，再根據該函數的單調性求出該函數的最小值。

第一步，求出F(x)的解析式。

從第一問中我們已經得到a和b的值，所以就可以得出關於函數f(x)的解析式，即f(x)=(x+1/2)(e^(2x)－1)，所以只需要求出函數h(x)的解析式即可得出函數F(x)的解析式了。

因為函數h(x)是函數f(x)上點P處的切線方程，所以只需要求出點P的坐標就可以得出h(x)的解析式。

因為點P是函數f(x)的圖像與x軸負半軸的交點，令f(x)=0，解得到x=－1/2或者x=0，所以點P的坐標為(－1/2,0)。

所以該函數h(x)的解析式為h(x)=f＇(－1/2)(x+1/2)，整理得到h(x)=(1－e)/e·(x+1/2)。

所以函數F(x)的解析式為F(x)=f(x)－h(x)=(x+1/2)(e^(2x)－1)－(1－e)/e·(x+1/2)，整理得到F(x)=(x+1/2)(e^2x－1/e)。

第二步，求出函數F(x)的單調性。

因為函數F(x)的一次導數為F＇(x)=(2e^(2x))·(x+1)－1/e，且F＇(－1/2)=0.

所以有

當x<－1時，F＇(x)<0恆成立；

當－1<x<1/2時，因為y=x+1和y=e^(2x)都是增函數，則有x+1∈(0,1/2)，e^(2x)∈(1/e^2,1/e)，所以2(x+1)e^(2x) ∈(0,1/e)，所以 2(x+1)e^(2x)－1/e∈(－1/e,0)，所以 F＇(x)<0；

當x>－1/2時，因為y=x+1和y=e^(2x)都是增函數，則有x+1∈(1/2，+∞)，e^(2x)∈(1/e，+∞)，所以2(x+1)e^(2x) ∈(1/e,+∞)，2(x+1)e^(2x)－1/e∈(0,+∞)，所以 F＇(x)>0。

所以函數F(x)在(－∞,－1/2)上是單調遞減，在(－1/2,+∞)上是單調遞增的。

第三步，求出函數F(x)的最小值。

所以當x=－1/2時，函數F(x)取最小值，即F(x)min=F(－1/2)=0.

所以函數F(x)的最小值為0.

圖二

求證第三問

第三問是給出方程f(x)=m的兩個實數根x1，x2，以及兩個實數根的大小關係x1<x2，證明：x2－x1≤(1+2m)/2－me/(1－e)。

該問證明的是一個不等式的形式，而給出的方程f(x)=m卻是一個等式，所以要想證明x2－x1≤(1+2m)/2－me/(1－e)需要建立關於函數f(x)的不等式。

要想建立關於函數f(x)的不等式，就要找到關於函數f(x)有關的不等式。

而第二問的結論是解出函數F(x)是一個最小值，且最小值為0，所以就有F(x)=f(x)－h(x)≥0，即f(x)≥h(x)。

建立好不等式後，就要根據函數h(x)和函數f(x)的函數值相等以及函數h(x)的單調性得出這兩個函數自變量的關係。

具體做法：

設h(z1)=m，又因為函數h(x)=(1－e)/e·(x+1/2)，則z1=－1/2+me/(1－e)。

又因為f(x1)=m，所以有h(z1)=m=f(x1)，又根據不等式f(x)≥h(x)，所以h(z1)=m=f(x1)≥h(x1)，即h(z1)≥h(x1)。

又因為函數h(x)=(1－e)/e·(x+1/2)是個減函數，所以有z1≤x1，即x1≥－1/2+me/(1－e)，即－x1≤1/2－me/(1－e)。

因為我們要證明的是x2－x1≤(1+2m)/2－me/(1－e)=m+1/2－me/(1－e)，所以只需要證明x2≤m即可。

因為x2和m都是屬於自變量的範疇，所以我們還要建立函數t(x)，根據函數值f(x2)和t(m)的大小關係以及函數t(x)的單調性得出x2和m的關係。

設曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=t(x)，則t(x)=x。

第一步，得出f(x)和t(x)的大小關係。

令T(x)=f(x)－t(x)=(x+1/2)(e^(2x)－1)－x，因為T(x)的一次導數為T＇(x)=2(x+1)e^(2x)－2，令T＇(x)=2(x+1)e^(2x)－2=0，解得到x=0.

當x≤0時，2(x+1)≤2，e^(2x)≤1，所以T＇(x)=2(x+1)e^(2x)－2≤0；

當x>0時，2(x+1)>2，e^(2x)>1，所以T＇(x)=2(x+1)e^(2x)－2>0.

所以函數T(x)在(－∞,0]上是單調遞減的，在(0,+∞)上單調遞增的。

所以當x=0時，函數T(x)取最小值為T(0)=0，所以T(x)=f(x)－t(x)≥0恆成立，即f(x)≥t(x)。

第二步，得出x2和m的大小關係。

設t(z2)=m，因為t(x)=x，所以z2=m。

因為t(z2)=m=f(x2)，又因為f(x)≥t(x)恆成立，所以有t(z2)=m=f(x2)≥t(x2)，即t(z2)≥t(x2)，又因為函數y=t(x)為增函數，所以z2≥x2，又因為z2=m，所以x2≤m。

綜上所述，x2－x1=m+1/2－me/(1－e)，即x2－x1≤(1+2m)/2－me/(1－e)。

圖三

總結

對於求證關於自變量的不等式關係時，需要建立自變量相對應的函數之間的不等式關係。

而第二問的結論變相的給出的關於函數f(x)和函數h(x)的不等關於後，得出了相應的自變量的關係，這種模式也是對後面構建函數f(x)和t(x)大小關係的一種提示，即根據相同的方法又得出函數f(x)和t(x)自變量的大小關係，最終證明結論。

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