極值點偏移題型是上一篇所講述的雙變量題型的一種重要分型。2016年高考I卷的壓軸大題就考了這種題型。
這類題型的特點鮮明，解題思路通用性強。本文通過原創的一張圖來直觀、簡明地揭示極值點偏移問題的基本原理（未見第二家如此系統地闡述它的原理）。
相信每一位同學學會後，再遇到此類題型就有底氣而不會再發怵了，真正做到舉一反三。
1. 導數(應用)壓軸大題之不等式有關問題的極值點偏移題型及典型例題
例1(2016國I) 已知函數f(x) = (x-2)e^x +a(x-1)^2有兩個零點。
(1) 求a的取值範圍；
(2) 設x1, x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2。
（提示：這題在上一篇中已給出詳細解答，這裡不再贅述。作為2016年的壓軸題，第(2)問算是極值點偏移題型中的一個難度適中的題目，因此剛好可用來清晰地揭示極值點偏移題型的基本原理與通用解題思路。不熟悉這類題型的同學應先把該題學透，再繼續學習其它例題）
例2 已知函數f(x) = xlnx，g(x) = 1/2×mx^2+x。
(1) 若函數f(x)與g(x)的圖像上存在關於原點對稱的點，求實數m的取值範圍；
(2) 設F(x) = f(x) – g(x)，已知F(x)在(0, +∞)上存在兩個極值點x1、x2，且x1<x2，求證：x1x2 > e^2 (其中e為自然對數的底數)。
解：依題意，x>0，
講解：
① 從極值點偏移題型角度看，本題(2)問稍有變化（可視作常規題型的變式——出題人常以類似的方式改題或增加難度）：
(a) 分析的函數對象為『導函數』及其兩個零點——即兩個等值點。但這些變化對以極值點偏移的思路進行解題並無太大差別，僅僅是對象不同而已。
(b) 已知函數的定義域受限——x>0；處理時不要忘了其約束。
(c) 從所求證的『x1x2 > e^2』看不出與極值點偏移問題相關，但只需利用已知推出可知條件「x1=lnx1/m和x2=lnx2/m」，即可把所求證問題轉化為需知問題(或稱需知條件)「x2+x1>2/m」——此為極值點偏移的標準形態。
② 通過本例(1)問可知，分類參數法可規避複雜的討論，適用時應儘可能用。但有些情況下，若繞不開超綱知識與方法，則應慎用，以免扣分甚至不得分。
③ 同學們可試著畫出本題(2)問的草圖（後文有用以對照的此圖），相信對大家深入理解有極大的幫助。
例3已知函數f(x)=lnx-mx。
(1) 求f(x)的單調區間；
(2) 已知f(x)有兩個零點x1、x2，證明：1/(lnx1) + 1/(lnx2) ≥ 2。
解：依題意x>0,
(1) （略）。
講解：
① 極值點偏移題型中，把所求證不等式進行變形，使其變為非標準形式又是出題人增加題目難度手段之一。而解題時，只需利用已知與代數變換方法與技巧，把所求證不等式轉化為標準形式即可。這是應對非規範的所求證不等式的一般要領。
② 在利用換元法把所求證不等式轉化為標準形式時，證明該改標準形式所需的函數也需要同步構造，而不能再用已知的f(x)=lnx-mx來證明之。類似地，不能用已知函數而必須構造用來證明(不管轉化與否)所求證不等式的函數，又是出題人增加題目難度手段之一。
例4已知函數f(x) = xlnx-a(x-1)^2-x(a≤0)。
(1) 求f(x)的單調區間；
(2) 若f(x1)=f(x2)（x1≠x2），證明：f(x1+x2)+2+2 2ln2。
思路分析(方式：已知→問題、已知→問題和/或已知→←問題)：
解：依題意，x>0，且有：
例5已知函數f(x)=xe^(-x)，g(x)=xlnx。
(1)求g(x)的單調區間，證明f(x) = g(x)在區間(0, 2)上有且僅有一個實根（即為x0）;
(2)min{a,b}表示a,b兩個數中較小者，設h(x)= min{f(x), g(x)}，若關於x的方程h(x)=t(t∈R)在(1, +∞)上有兩個不等的實根x1,x2(x1<x2)，求證：x1+x2 > 2x0。
解：依題意x>0，
講解：
① 本題實質上是極值點偏移的變式（或進化)——分段函數的分界點的偏移。二者的解題思路是一樣的。本題的出題人還是花了不少心思滴，點讚！
② 由(1)可知，h(x)實為以 為邊界的分段函數，所求證問題x1+x2>2實質就是指「分界點相對於兩根之對稱中心的偏移」。這與極值點偏移問題類似，差別僅在於一個是極值點偏移，另一個是分界點偏移（未必可導）。雖然幾何意義不同，但代數的解題思路是類似的。所以，若能熟練理解極值點偏移的基本原理及其通用解題思路（下文的重點），則無論題目怎麼變換，都可以以不變應萬變，真正做到舉一反三。
以史為鑑，可以明得失！這是敬愛的毛主席一生讀了十多遍的好書。
2. 導數(應用)壓軸大題之極值點偏移問題的通用解題要領
極值點偏移問題是雙變量問題的一種重要分型，除了具有雙變量問題的通性通法之外，還有獨有的解題要領。這裡不再贅述雙變量問題有關內容，以下將重點地從極值點偏移問題的含義、主要特點或特徵、通用解題基本原理與思路等角度來歸納與總結。
1) 極值點偏移問題
「極值點偏移」題型是雙變量題型的一種典型分型——求證由某函數兩等值點的橫坐標x1、x2構成的不等式問題。這類題目都是圍繞函數極值點位置與兩等值點的(縱向)對稱軸之間的偏離量來進行設問的。
2) 問題本質
「千言萬語不如一張圖」、「沒有對比就看不清真相」！所以下面以兩種圖來直觀地闡述極值點偏移之真相，如下圖（示意圖）：
a) 如下示意的對稱圖形極值點不發生偏移
b) 如下示意的不對稱圖形極值點發生偏移
c) 問題本質
如上兩個示意圖，對稱圖形時，因極值點兩側曲線的陡峭程度一樣，極值點橫坐標始終在兩等值點的對稱軸上而不會發生極值點偏移；而非對稱圖形時，因極值點兩側曲線的陡峭程度不一樣，極值點所在軸(過其橫坐標且垂直於x軸)偏離了兩等值點的對稱軸而發生極值點偏移。
換句話說，類似上圖的非對稱性是可能導致極值點偏移的根源所在。
一般地，導數(應用)壓軸大題之極值點偏移問題（歸屬不等式有關問題的雙變量問題）的有關題型是圍繞這個偏離來進行題設的。
b) 偏移方向
偏移時，既可能左偏也可能右偏，具體取決於圖像特徵。一般地，哪一側更陡峭就往那一側偏（這不難理解，與我們的直觀想像或理解的圖像形態是一致的）。
3) 解題基本原理
下面結合圖像來直觀地揭示上述原理，一目了然。理解了這張圖，即可助你輕鬆地做到舉一反三。