原題
原題：已知函數f(x)=(1/2 x^2－ax)lnx+2ax－3/4 x^2，其中0<a<e。
⑴求函數f(x)的單調性；
⑵討論函數f(x)零點的個數；
⑶若f(x)存在兩個不同的零點x1，x2，求證：x1x2<e^2.
這道題看起來思路是比較簡單的，但確實一個容易出錯的題。
這道題之所以很容易出錯，是因為該題中存在的變量不止是x一個，還有字母a。
這樣的題要想不出錯或者不遺落步驟只需要記住先討論一個變量的情況，然後在這個變量的範圍內再分別討論另一個變量的情況。
下面就以該題中的三個小標題分別說明。
第一標題
第一個標題是求函數f(x)的單調性。
對於求函數的單調性只需要對該函數進行求導，再求出該函數的一次導數大於0和小於0時的範圍就可以求出對應的函數的增區間和減區間，從而得到函數的單調性。
由函數f(x)的一次導數為f＇(x)=(x－a)·lnx+1/2·x－a+2a－3/2·x=(lnx－1)(x－a)(x>0,0<a<e)。
令 一次導數f＇(x)>0，則(lnx－1)和(x－a)同正或者同負即可。
當0<x<e時，(lnx－1)<0，此時(x－a)<0，此時0<x<a。
又因為0<a<e，所以此時x的範圍為0<x<a。
當x>e時，(lnx－1)>0，所以(x－a)>0，所以x>a。
又因為0<a<e，所以此時x的範圍為x>e。
所以函數f(x)的單調增區間為0<x<a或x>e。
令 一次導數f＇(x)<0，則(lnx－1)和(x－a)異號。
當0<x<e時，(lnx－1)<0，所以有(x－a)>0，即x>a，又因為0<a<e，所以有a<x<e。
當x>e時，一次導數f＇(x)>0，所以此時x不能大於e。
所以函數f(x)的單調減區間為a<x<e。
綜上所述，函數f(x)的單調增區間為0<x<a或x>e，單調減區間為a<x<e。
第二個標題
第二標題是討論函數f(x)零點的個數。
對於求函數的零點個數時是離不開函數的單調性和函數的極大值、極小值和最大值、最小值和0的關係。
該函數的單調性在上一個標題中已經得出，即當0<x<a，f(x)為增；當a<x<e，f(x)為減；當x>e，f(x)為增。
所以當x=a時，函數f(x)為極大值；當x=e時，函數f(x)為極小值；當x趨近0和x趨近正無窮時為兩個端點。
所以這道題要求零點的個數就要判斷當x趨近於0時，f(x)與0的大小關係以及函數f(x)極小值與0的大小關係以及x趨近無窮上時與0的大小關係。
當0<x≤a時，f(x)=x(1/2·x－a)lnx+x(2a－3/4·x)，因為0<x≤a，所以1/2·x－a<0，2a－3/4·x>0，當x趨近0+時，lnx<0，則此時f(x)>0.
又由⑴可知f(x)在0<x<a是增函數，所以當x∈(0,a]上無零點。
當x>a時，f(x)極小值為f(e)，即f(e)=e(a－e/4)。
當0<a<e/4時，因為f(x)在(a,e)上單調遞減，在(e,+∞)上單調遞增，且f(a)>0，f(e^2)=e^2/4>0，f(e)=e(a－e/4)<0，所以根據零點存在定理，函數f(x)有兩個不同的零點。
當a=e/4時，因為f(x)在(a,e)上單調遞減，在(e,+∞)上單調遞增，且f(e)=0，所以函數f(x)有唯一的零點。——這點容易遺漏的步驟。
若e/4<a<e，因為f(x)在(a,e)上單調遞減，在(e,+∞)上單調遞增，f(x)≥f(e)=e(a－e/4)>0，所以函數f(x)無零點。
綜上所述，當0<a<e/4時，函數f(x)有兩個不同的零點；當a=e/4時，函數f(x)有唯一的零點；當e/4<a<e，函數f(x)無零點。
第三個標題
第三個標題是若f(x)存在兩個不同的零點x1，x2，求證：x1x2<e^2.
上述第二個標題中f(x)存在兩個不同的零點x1，x2是當x>a中的0<a<e/4且當x=e時取極小值，且該極小值小於0時，所以有a<x1<e<x2——這個也是很容易遺忘的已知。
要想x1x2<e^2，只需要證明x2<e^2/x1，因為a<x1<e，所以1/x1>e，即e^2/x1>e，因為當x>e時，函數f(x)是單調遞增的函數，所以要想證明x2<e^2/x1，只需要證明f(x2)<f(e^2/x1)即可。
因為f(x1)=f(x2)，所以只要比較f(x1)<f(e^2/x1)即可。
設F(x1)=f(x1)－f(e^2/x1)，所以上述問題轉化為當a<x1<e時，F(x1)=f(x1)－f(e^2/x1)<0恆成立的問題。
對函數F(x1)=f(x1)－f(e^2/x1)求導得到F＇(x1)=(lnx－1)·(x^4－ax^3+e^2·ax－e^4)/x^3.
因為a<x1<e時，(lnx－1)<0恆成立，又因為x>0，所以只需要證明x^4－ax^3+e^2·ax－e^4>0即可。
設g(x)=x^4－ax^3+e^2·ax－e^4，a<x1<e。
整理得到g(x)=(x^2+e^2－ax)(x^2－e^2)，因為a<x1<e，所以x^2－e^2<0，x^2+e^2－ax>0，所以g(x)<0在a<x1<e恆成立。
所以當a<x1<e時，有F＇(x1)>0恆成立，所以F(x)在a<x1<e是單調遞增函數。
所以當x趨近e時，F(x)趨近最大值，即F(x)<0。
所以F(x1)=f(x1)－f(e^2/x1)<0，f(x1)<f(e^2/x1)，即f(x2)<f(e^2/x1)，所以x2<e^2/x1，所以x1x2<e。
總結
該題前兩問沒有什麼難度，卻很容易出錯或者遺落結果，從而影響對第三步的求解。
所以在求前兩步的過程中分布討論要調理清晰，考慮全面，不要遺漏結論。
設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明x1+x2>2a。需要知道這點才會構建
已知函數f(x)在(0,1)內有兩個零點求a的取值範圍？這類題思路在這
若複合函數有四個零點求a的取值範圍？分布討論時找臨界點是關鍵
高中：x1，x2分別是兩個函數的零點求x1+4x2取值範圍？關鍵在圖像
直線與三次函數有三個不同交點，聯立方程嗎？太麻煩，這有方法！