導函數中結合零點或極值點求參數取值範圍題是高考命題的重點與熱點之一,主要有以下命題角度:
(1)利用導數研究函數的單調性、極值、最值;
(2)利用單調性、極值、最值求參數的取值範圍.
題型以解答題為主,選擇、填空題中也有涉及,其中解答題屬於高考中的壓軸題之一,選擇題、填空題屬於中檔題,分值5~12分.
例1[2018全國卷Ⅰ,21,12分][理]
思路分析(1)解題首先要考慮函數的定義域.求出函數的導函數,根據導函數中二次函數的一次項含參,主要通過判別式進行分類,根據字母的取值範圍進行討論;
(2)導函數中的二次函數的韋達定理可知,兩極值點之積為定值,故可先將二元變量轉化為一元變量,進而對含有一個未知數的不等式,然後構造函數結合單調性加以證明.明構造函數的單調性要注意隱含條件的挖掘,由x1x2=1,可得到構造函數自變量的取值範圍(0
例2[2018全國卷Ⅱ,21,12分][理]
思路分析(1)先構造函數g(x)=f(x)－1,再求導函數,根據導函數不大於零得到函數單調遞減,最後根據單調性解不等式.
(2)研究f(x)零點,等價研究函數h(x)的零點,選求h(x)的導數.解題過程中有兩個討論點,一個是a與0,即a>0和a≤0;另一個是x與2.當a≤0時,h(x)>0,h(x)沒有零點.當a>0時,h(x)先減後增,得到函數只有一個零點的必要條件,再利用零點存定理確定條件的充分性,可得到滿足題意的a的值.
總結導函數中零點或極值點求參題的解題過程中,利用函數的零點的情況求參數值或取值範圍可通過下面步驟進行:
(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.
(2)分離參數後轉化為函數的值域(最值)問題求解.
(3)轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關係問題，從而構建不等式求解.