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今天我們一同來看一道函數與導數的題，函數和導數高考數學的重要考點，這道題是 2019 年高考全國 I 卷中的一題。
這是一道比較常規的題，我們一起來分析一下題目，首先第一小題證明 f'(x) 在 (-1, π/2) 存在唯一的極大值點。首先求出 f'(x) ：
題目要證明 f'(x) 在 (-1, π/2) 存在唯一的極大值點，我們令 g(x) = f'(x)，我們只要知道了 g'(x) 的正負區間就知道了 g(x) 也就是 f'(x) 的極值情況，所以先求出 g'(x) ：
在 -1< x ≤ 0 時 ，很明顯 g'(x) = -sinx + 1/(1+x)^2 > 0， 因為 -sinx > -1 ，而 1/(1+x)^2 ≥1 。
而在 x ∈(0，π/2） 時，函數 -sinx 和 1/(1+x)^2 都是單調遞減的，所以 g'(x) 在區間上最多有一個零點，又有 g'(0) = 0 +1 = 1 > 0，g'(π/2) = -1 +1/(1+π/2)^2 < -1 + 1 = 0。所以 g'(x) 在區間 x ∈(0，π/2）上有且只有一個零點 x0。當 -1 < x < x0 時，g'(x)>0 ， 在 x0 < x < π/2 時，g'(x)<0 ，所以 g(x) 也就是 f'(x) 在區間 (-1, π/2) 上有唯一的極大值點 。
第二小題要證明 f(x) 有且僅有兩個零點，首先我們考慮 x > π 時，f(x) = sinx - ln(x+1) < 1 - ln(1+ π) < 0 所以在這個區間不存在零點。
然後我們考慮 （-1，0）區間 ， f'(x) = cosx - 1/(1+x) < 1 - 1 = 0 ， 所以 f(x) 在該區間單調遞減，又 f(0) = 0 ，所以在（-1，0）區間 f(x) > 0。
然後我們看區間 （π/2,π）,在該區間上 f'(x) = cosx - 1/(1+x) < 0 ， 所以 f(x) 單調遞減 ，f(π/2) = 1 - ln(1 + π/2) > 1 - lne = 0， f(π) = 0 - ln(1 + π) < 0 ， 所以 f(x) 在區間 （π/2,π）上有一個零點。
接下來我們看（0，π/2）區間，首先根據第一小題，f'(x) 在 （0，π/2）上存在一個極大值點 x0，也是最大值點，所以在 (0，x0）上 f'(x) 上單調遞增，在 （x0，π/2）上單調遞減，f'(0) = 1-1=0，f'(π/2) = 0 - 1/(1+π/2) < 0 所以， 在 （x0，π/2）上 f'(x) 有且僅有一個零點 x1，在 (0，x1）上 f'(x) > 0, 在 (x1，π/2）上 f'(x) < 0, 所以 f(x) 在 (0,x1) 上單調遞增，在 (x1，π/2）上單調遞減，而 f(0) = 0 ，
f(π/2) = 1 - ln(1+π/2) > 1 - lne =0 ，所以在 (0,π/2) 上 f(x)>0。
綜上所述，f(x) 有兩個零點，一個在 x = 0 處，一個在 （π/2，π）區間上。
小結
這是一道很常規的函數與導數的題，這種題通常都有固定的套路，就是通過導數的正負性來確定函數的增減性。通過上面的例子，我們知道以下幾點：
1.如果連續函數 f(x) 在某個區間 ( a,b) 單調，則在 f(x) 在( a,b)上 最多有一個零點，有一個零點的充要條件是：f(a)f(b)<0，如圖所示：
2.如果連續函數 f(x) 在某個區間 ( a,b) 只有一個極值點，則在 f(x) 在( a,b)上最多有兩個零點，以下六種情況，零點的個數與極值點的大小無關，也就是我們不需要計算極值大小，如下圖所示：
只有下面兩種情況，需要計算極值點的大小才能確定零點的個數。
所以，當極值點不好算的時候，極有可能就是上面六種情況。
3.如果在定義域內單調性不好確定，我們可以劃分區間來討論。