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在上兩篇文章中，我們討論了數列有關內容，這一篇我想和大家討論一下函數的零點和極值問題。這個題目同樣源於筆者接的一單問答中幾個填空題的其中一道，感覺有點啟發意義，這裡和大家分享一下：
同樣的，不妨先動手做一下，然後再接著往下看。這道題中包括兩個未知參數a、b和一個絕對值符號，討論起來比較複雜。但是按照題目要求，只需要找其中一個正確答案就可以了，我們很自然地想到選一個信息較多的條件。於是我們假設a=1；考慮函數 g(t) = (t-1) - 3|t-1| (t≥0），很明顯直線 t =1 將 g(t) 分為 0≤t<1和t≥1 兩部分，這兩部分均為 t 二次函數的一段，而這兩個二次函數的對稱軸分別為t=-1/2 和 t=5/2；第一段函數在其對稱軸的右邊，所以 g(t) 在這一段（ 0≤t<1）單調遞增，第二段函數的對稱軸（t=5/2）在這一段的中間部分，多以 g(t) 在這一段（ t≥1）先減小後增大。我們計算出t=0、t=1、t=-5/2 這幾個點的值然後作圖如下：
由於 t=x ，所以在 x≥0 時 g(x) 極值點的縱坐標和升降趨勢和 g(t) 相同，我們可根據 g(t) 的圖像作出 g(x) 在x≥0 時的圖像，又由於 g(x) 為偶函數，所以 x<0部分的圖像也可以作出來了：
所以我們知道 a=1 時，f(x) = g(x) - b 有三個極小值點，當 -9/4<b<-2 或者b=0時 f(x) 有4個零點，當-2<b<0 時 f(x) 有6個零點 。所以由③可以得到⑦，④可以得到⑧，就該題而言當然就已經結束了。
但是接下來，我們更深入探討一下，a 的大小與 f(t) 極值點之間的關係。我們回到 g(t) ，其兩段函數的對稱軸分別為 t=a-3/2 和 t=a+3/2，當 a<-1/2時，兩個對稱軸分別在這兩段函數的左邊， 此時 f(t) 在 0≤t<1，和t≥1 兩段都是上升的：
當 -1/2≤a<3/2時，此時第一段函數的對稱軸仍然在這段函數的左邊，所以這一段 f(t) 是上升的。而第二段對稱軸跑到 1 的右邊，所以第二段先下降後上升：
當 3/2≤a<5/2時，第一段的函數的對稱軸跑到 0和1之間，第二段函數的對稱軸仍然在1 的右邊，所以這兩段函數都是先下降後上升的：
當 5/2≤a 是，第一段函數的對稱軸跑到1的右邊，所以第一段函數下降，第二段函數先先下降後上升：
將 t 換成 x，根據對稱性得到 g(x) 的趨勢圖像，而 g(x) 與 f(x) 之間只差了一個常數b ，他們的升降趨勢相同：
所以當 a≤-1/2時，f(x) 有1個極小值點，當 3/2<a<5/2時，f(x) 有4個極小值點。所以由①可以推導出⑥，由②可以推導出⑤。當然我們還可以繼續算出各極值點的大小討論a、b不同取值情況下零點的個數，這就太複雜了，高考中一般不會出現太複雜的題目，這裡就不在討論了，感興趣可以再做一下。
小結
本文通過一道高考模擬卷的填空題，展示了分類討論的一般思路。這道題雖然只是一道填空題，但過程還是比較麻煩的，其完全可以當作一道大題出現，我們的思路為用t替換 x ，然後通過分段討論將函數轉化為我們熟悉的二次函數，然後通過討論 a 取不同值時，兩段函數的對稱軸的位置，得到函數的上升和下降趨勢，從而得到函數極值點，再通過映射 h: x->t 在 x≥0 時的單調遞增關係和 f(x) 為偶函數特性，得到全定義域內 f(x) 的極值點和零點。
這種題目難點在於很麻煩，需要我們耐心仔細地討論各種情況，這在考試的環境中（高度緊張）是尤為難得的，碰到這種題目不要慌，先轉化為我們熟悉的形式，然後分各種情況討論。如果對情況把握不準（例如這裡為什麼用 a 分段討論），我們先找出影響結論的關鍵因素（這裡極值點和零點的關鍵在於函數的升降趨勢），找到關鍵因素（這裡的a）後，找出一個臨界值（這裡是兩個對稱軸在 x=0，和 x =1處 a 的取值) ，這樣就知道把 a 分哪些情況討論了。
最後，依然用右手螺旋定則為大家點讚，為即將參加高考的同學們加油。如果對左右手定則記不清楚的話，在文章高考物理中的左右手定則，超全超實用中有總結，歡迎瀏覽。