學軍中學命題浙江五校聯考，從一道經典的選擇題，看數形結合思想

數形結合思想是中學幾大基本數學思想之一，常在高考數學中用到，在適當的題目上運用數形結合思想往往能夠事半功倍，甚至對於解答題的思路有很明確的指導作用。

直接看一道2020屆浙江名校五校聯考，學軍中學命題的一道經典的選擇題，題目難度可能不大，但是對於基本數學思想的掌握來說，確實是一道非常好的題目。

一、題目

對數相關函數單調性、含參數的三次函數與方程結合，根據方程解的情況，求參數的取值範圍。

二、思路解析

1、函數單調性+賦值法確定函數f(x)的解析式

函數單調性：

函數在定義域上單調，則自變量與函數值是嚴格的一一對應關係，可知f(x)+log(⅓)x=常數，設為t，於是可得：f(x)=常數t-log(⅓)x=常數t+log₃x。

賦值法：

令x=t，則4=f(t)=t+log₃t，可得t=3。

於是函數f(x)的解析式為：f(x)=3+log₃x。

2、常規通法導數法：

確定函數f(x)單調遞增、定區間上的值域，函數g(x)的單調區間、極值。

導數為正，可知f(x)單調遞增，進而可得f(x)在定區間(0，3]上的值域為(-∞，4]，且|f(x)-3|在(0，1]上單調遞減，在[1，3]上單調遞增，|f(x)-3|的值從＋∞減到0，再從0增到1。

令g(x)=x³-6x²+9x-4+a，導數g´(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)，知g(x)極大值點1，極小值點3，在(0，1]上單調遞增，在[1，3]上單調遞減。

3、數形結合思想事半功倍

方程|f(x)-3|=g(x)在區間(0，3]上有兩解，應該沒有誰會傻傻地直接研究方程，那是費力不討好的事。

由數形結合思想，|f(x)-3|的圖像、g(x)的圖像在區間(0，3]上有兩個交點，畫一個草稿圖，問題瞬間明朗：

在區間(0，3]上，

x=1處，|f(x)-3|的最低點必須在g(x)最高點的下方，即a＞0。

x→0處，|f(x)-3|→＋∞必然在g(0)=a-4上方。

於是，|f(x)-3|的圖像、g(x)的圖像在區間(0，3]上要有兩個交點，只需x=3處|f(x)-3|與g(x)重合或者在g(x)上方即可，即|f(3)-3|≥g(3)，即a≤5。

於是問題就輕鬆解決了。

三、數學思想方法啟示

對於較複雜的函數與方程結合的題，很多時候巧妙運用數形結合思想，能起到四兩撥千斤的作用：

比如2019年高考數學江蘇卷第14題，填空壓軸題，運用數形結合思想能夠很直觀簡潔地解決問題，然而如果不運用數形結合思想，必然事倍功半，高考場上甚至無法解出問題。

數形結合思想對於一些解答題的思路有很好的指導意義：

比如2019年高考數學全國卷一第20題第⑵問，運用數形結合思想，將函數零點轉化為三角函數與對數相關函數的圖像交點，可以很直觀地判斷函數的兩個零點分別在什麼位置、或者什麼範圍之內。

於是根據零點的分布，分類討論思想應運而生。

再以導數法作為主線貫穿，解題過程自然而然水到渠成。

四、小結

高中數學的學習，不外乎這樣幾方面：

一是基礎知識點：

函數與導數、數列、解析幾何、立體幾何、集合、複數、向量、三角函數、排列組合、概率與統計等，所有高考要求的知識點全部掌握牢固。

二是中學幾大基本數學思想：

化歸轉化思想、分類討論思想、數形結合思想、函數與方程思想。類別簡單，蘊含豐富，掌握好基本數學思想，很多表面看起來複雜的問題，在你的火眼金睛之下根本無處遁形。

當然，本篇文章筆者就以數形結合思想來拋磚引玉。

三是各個內容板塊的方法：

比如數列一、二階線性、非線性遞推的幾種經典類型和處理方法，特別是累加法、累乘法、待定係數法、取倒數法、取對數法、特徵方程法、不動點法。

比如數列的經典求和方法，倒序相加法、裂項相消法、錯位相減法等。

比如解析幾何很多題的常規通法：聯立方程→韋達定理→弦長公式→函數最值、不等式等問題，當然不要死板，並不是所有解析幾何大題都是這樣的一條主線。

比如立體幾何「面面——線面——線線」的轉化主線(不外乎尋找輔助線，判定定理、性質定理結合運用)，二面角轉化為平面角、體積法、面積法等。

四是一些特殊技巧：

比如放縮法的一些經典形式：如導數四線放縮的多個結論。

比如裂項相消的一些經典形式和類比技巧。

比如向量裡的極化恆等式、等和線。

比如解析幾何裡的點差法、設而不求，等等。

本篇以一道經典的含參數的函數與方程結合的選擇題為例，注意給大家講解一下數形結合思想的運用，啟示大家注重和掌握好中學基本數學思想。

順便提醒大家：不要無休止地亂刷題，不是所有題都有必要刷，甚至一些輔導資料裡面有「可刷性」的題只佔很少的一部分，大家一定要注意根據自己的具體情況「大肆」取捨。

而像這類經典的題，不要只關心一下正確答案就了事，好題就應該充分地發光發熱，作為「題母」深度研究，深度研究一題勝過一些同學盲目濫刷十題百題。

掌握好這幾個方面，你自然而然可以淡定從容地面對高考數學。