設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明x1+x2>2a。需要知道這點才會構建

2020-12-11 玉w頭說教育

原題

原題：已知函數f(x)=alnx－x^2+(2a－1)x (a∈R)有兩個不同的零點。⑴求a的取值範圍；⑵設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明x1+x2>2a。

圖一

這道題的第一問，思路還是比較簡單的，只需要分步說明a的不同取值範圍是否符合題意就可以了，主要是第二問如何求解呢？第二問是證明x1+x2>2a，所以就要構建出關於2a和x1以及x2的解析式。

要想構建出關於2a和x1以及x2的解析式，還是離不開第一問的內容，所以要先得出a的取值範圍。

得出a的取值範圍

要想求出a的取值範圍，要知道這類題的一般思路：對已知函數進行求導，再討論a在不同範圍下時原函數的單調性，再根據原函數的單調性來判斷原函數是否符合題意，符合題意的a的取值範圍就是要求範圍。

因為函數f(x)=alnx－x^2+(2a－1)x (a∈R)，所以知道x>0的。

對函數f(x)=alnx－x^2+(2a－1)x 求導得到f＇(x)=a/x－2x+2a－1=(2x+1)(a－x)/x。

當a≤0時，f＇(x)=(2x+1)(a－x)/x<0，所以f(x)在x>0上時單調遞減函數，所以f(x)至多有一個零點，不符合題意，捨去。

當a>0時，令f＇(x)=0得到x=a，則有f(x)在(0,a)上是單調遞增函數，在(a,+∞)上是單調遞減函數。

圖二

所以f(x)的最大值此時為f(a)=a(lna+a－1)。

要想知道此時的f(x)是否符合題意，即有兩個不同的兩點，就要判斷其f(a)是否大於零。

如果f(x)的最大值f(a)大於零，又因為f(x)開口向下，所以是符合「函數f(x)=alnx－x^2+(2a－1)x (a∈R)有兩個不同的零點」的情況的，即保留；

如果f(x)的最大值f(a)小於零，又因為f(x)開口向下，所以不符合「函數f(x)=alnx－x^2+(2a－1)x (a∈R)有兩個不同的零點」的情況的，即捨去。

設g(x)=lnx+x－1(x>0)，因為g＇(x)=1/x+1>0，所以g(x)在(0,+∞)上是單調遞增的函數。

又因為g(1)=ln1+1－1=0，所以當0<x<1時，g(x)<0；當x>1時，g(x)>0。

所以當0<a≤1時，f(x)的最大值f(a)=a·g(a)≤0，所以f(x)至多有一個零點，不符合題意，捨去。

當a>1時，f(x)的最大值f(a)=a·g(a)>0，還要再證明函數f(x)在單調遞增區間(0,a)有小於0的數值和函數f(x)在單調遞減區間(a,+∞)有大於0的數值。

因為f(1/e)=a(2/e－1)－1/e^2－1/e<0，所以f(x)在(1/e,a)上有一個零點；又因為f(3a－1)=a[ln(3a－1)－(3a－1)］。

設h(x)=lnx－x(x>2)，因為h＇(x)=1/x－1<0，所以h(x)在x>2上是單調遞減函數。

所以有h(3a－1)<h(2)=ln2－2<0，所以f(3a－1)<a·h(3a－1)<0。

所以f(x)在(a,3a－1)上有一個零點，所以f(x)恰好有兩個零點。

綜上所述，當f(x)有兩個不同零點時，a的取值範圍為(1,+∞)。

圖三

構建函數

通過求解第一問，我們知道a是大於1的數，當x∈(0,a)時，f(x)是單調遞增函數；當x∈(a,+∞)時，f(x)是單調遞減函數。

而這裡的x1和x2是f(x)的兩個零點，所以x1和x2應該是分別在x=a的兩側，且f(x)的定義域為x>0，所以不妨設0<x1<a<x2.

為了得出x1、x2和a之間的關係，我們要學會構建。

設F(x)=f(x)－f(2a－x)，x∈(0,2a)。這就是構建的函數。

對函數F(x)求導得到F＇(x)=a/x－2x+(2a－1)+a/(2a－x)－2(2a－x)+(2a－1)=2(x－a)^2/x(2a－x)。

當x∈(0,a)時，F＇(x)>0，所以F(x)單調遞增，又因為F(a)=0，所以F(x)<0，所有f(x)－f(2a－x)<0，f(x)<f(2a－x)。

因為x1∈(0,a)，所以滿足關係式f(x)<f(2a－x)，即f(x1)<f(2a－x1)。

又因為x1和x2的數值為零，所以有f(x1)=f(x2)，所以有f(x2)=f(x1)<f(2a－x1)，所以有f(x2)<f(2a－x1)。

又因為x1∈(0,a)，所以2a－x1的範圍為(a,2a)。

所以x2和2a－x1均在減區間(a,+∞)上，所以有x2>2a－x1，所以有x1+x2>2a。

圖si

總結

對於給出的函數有幾個零點，讓你求a的取值範圍的題，一把都是採用分步討論的思想來解決，即分別說明a取不同範圍時驗證在a該範圍內是否符合題意。

對於證明x1+x2>2a時，要學會構建函數，一般構建的函數都是將x1、x2和2a在解析式f(x)中能夠表示出來，再根據函數f(x)的單調性得到x1、x2和2a的關係。

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