第二章：數列
【導入】
有人說，大自然是懂數學的。不知你注意過沒有，樹木的分支、花瓣的數量、植物種子或樹木的排列....都遵循了某種數學規律，你能發現下面這個數列與這種規律的關係嗎？
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
【概述】
人們對數列的研究有的源於現實生產、生活的需要，也有的出自對數的喜愛，數是刻畫靜態下物體的量，例如一棵樹在某一時刻的高度是2m。如果在每年的同一時刻都記錄下這棵樹的高度，並按自然順序排列起來，就得到一列數，像這樣，按一定順序排列著的一列數稱為數列。數列可以看成定義在正整數集或其有限子集上的函數，它是刻畫離散過程的重要數學模型。
在日常生活中，人們經常遇到的像存款利息、購房貸款等實際計算問題，都需要用有關數列的知識來解決。數列的知識也是我們將來學習高等數學的基礎。
在本章中，我們將學習一般數列的概念和簡單表示方法，並將研究兩類特殊的數列——等差數列和等比數列，解決與這些數列相關的一些問題，了解它們在實際生活中的應用。
【開篇的理解】
1）大自然中隱藏著數字規律，神秘，而迷人，激發學生無限的求知慾；
2）給出數列產生的現實背景和基本含義；
3）將數列與函數對應起來；
4）生活中很多問題都與數列有關，數列也是後繼數學的基礎；
5）交代本章的教學安排。
2.1數列的概念與簡單表示法
1）創設「情境（畢達哥拉斯沙灘研究的三角形數、正方形數）」導入課題；
2）結合情境中實例給出數列的相關的概念：項、首項、第n項；
3）給出數列的分類：有窮數列和無窮數列；遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列；
4）設置「觀察」引導學生進一步理解數列的分類；
5）引導學生將數列與函數對應；設置「疑問」引導學生思考一次函數和指數函數對應的數列有何特點；
6）給出通項公式的含義；
7）設置「思考」引導學生將數列通項與函數解析式對應，並引導學生根據通項思考數列是性質；
8）編排例題幫助學生通過有限項歸納出數列的通項，並設置「疑問」引導學生思考這種歸納的合理性；
9）「類比」函數的表示，給出數列的圖象、列表等表示；
10）編排例題2（謝賓斯基三角形）引出數列的遞推公式；
11）編排例題3幫助學生進一步熟悉數列遞推公式；
12）課後習題。
本節理解：數列是一個重要的概念，其概念形成是很自然的。最重要的一點是要向學生傳遞從函數角度看待數列，數列就是一種特殊的函數。類比函數，數列的表示也是很自然的。本節內容為後文等差、等比數列的學習奠定了基礎。
【閱讀與思考】
本文是關於斐波那契數列的介紹斐波那契在其《算盤全書》中提出了一個關於兔子繁殖的問題，而引出了該數列。雖然該數列來源於動物繁殖的研究，但它與很多現象都有關：樹苗每年長出的枝條數、向日葵中的管狀小花、蒲公英和松塔中同樣存在該數列的身影。
該數列具有很多有趣的性質，有一份專門研究它的數學雜誌——《斐波那契季刊》。
【章節練習2.1】
【信息技術應用】
本文介紹sqrt(2)的估計。文章首先簡單介紹了第一次數學危機的歷史；然後介紹了一種sqrt(2)的估計算法，並給出了程序框圖；文章讓同學們能根據該框圖給出程序，並希望同學們給出其他估計方法，給出對應算法、框圖和程序。
2.2等差數列
1）通過「類比（初中學習了實數，研究了其運算與性質【加減乘除，整除的特徵等】）」導入課題；
2）引導學生從特殊情況入手，並強調：從特殊入手，研究數學對象的性質，再逐步擴展到一般，這是數學常用的研究方法；
3）創設「問題情境」引導學生「觀察」問題中數列的特點
3.1）從0開始的間隔為5的等間隔數列：0，5，10，20，25，.；
3.2）2000年雪梨奧運會女子舉重的7個級別：48，53，58，63；
3.3）水庫水位組成的數列：18，15.5，13，10.5，8，5.5：
3.4）存蓄時年末本利和數列：10072，10144，10216，10288，10360；
4）學生發現：以上每一數列中每一項與前一項的差是固定的；
5）根據學生的發現給出等差數列的概念、公差的概念；並引導學生寫出以上各數列的公差；
6）引導學生舉出生活中等差數列的例子；
7）給出等差中項的含義；
8）設置「思考」引導學生思考以上各數列的通項；
9）引導學生根據等差數列的定義推導出等差數列的通項公式；
10）編排例題幫助學生理解等差數列的概念和通項公式
10.1）例題1幫助學生熟悉等差數列的通項公式；
10.2）例題2幫助學生將等差數列應用於計程車計費；
10.3）例題3幫助學生進一步理解等差數列的概念；
11）設置「探究」引導學生體會等差數列與一次函數之間的關係；
12）課後習題。
本節理解：等差數列的學習，既是對前面學習數列的概念與簡單表示法的鞏固，也是為後期學習等差數列的前n項和打好基礎，具有承上啟下的作用;數列作為一種函數，是反映自然規律的基本數學模型，等差數列的學習，能夠培養學生觀察分析問題的能力和數據處理的能力，使學生體會數字的規律和美妙，讓學生認識到數列模型的廣泛應用，並且運用該模型解決一些實際問題，同時等差數列也為今後學習等比數列提供了「聯想」、「類比」等思想方法。
【章節練習2.2】
2.3等差數列的前n項和
1）創設「情境（高斯求1到100連和的故事）」導入課題；
2）引導學生將高斯的解法推廣到求1到n的連和；
3）設置「探究」引導學生思考能否將這種解放推廣到一般的等差數列；
4）給出數列前n項和的概念；引導學生將高斯的解法推廣到一般的等差數列前n項和；
5）引導學生導出等差數列前n項求和公式的兩種形式，並設置「思考」引導學生思考這兩種形式反應了等差數列的什麼性質；
6）編排例題幫助學生熟悉等差數列的求和公式
6.1）例題1幫助學生熟悉求和公式；
6.2）例題2幫助學生進一步理解等差數列的求和公式中各量的關係；
6.3）例題3幫助學生理解等差數列通項和前n項和公式的關係；
7）設置「探究」引導學生思考等差數列前n項和與關於項數n的二次函數的關係；
8）編排例題4進一步幫助學生理解等差數列前n項的二次函數特性；設置「疑問」引導學生從通項角度再次考察該問題；
9）課後習題。
本節理解：創設的「情境」一方面引人入勝，激發學生學習興趣；另一方面也為學生遷移做了鋪墊，使得在推導一般等差數列前n項和的公式時自然。編排大量例題不但有助於學生熟悉等差數列前n項和公式，同時也是引導學生建立其與二次函數聯繫的過程。
【章節練習2.3】
2.4等比數列
1）創設「情境」導入課題
1.1）情境1細胞分裂數列：1，2，4，8，.；
1.2）情境2一尺之棰，日取其半，萬世不竭中數列：1，1/2，1/4，1/8，.；
1.3）情境3計算機病毒感染數列：1，20，202，203，.；
1.4）情境4銀行複利中數列：1.0198，1.01982，1.01983，1.01984，1.01985；
2）設置「觀察」引導學生觀察情境中各數列的特點；
3）學生發現：以上每一數列中每一項與前一項的比是固定的；
4）根據學生的發現給出等比數列的概念、公比的概念；並引導學生寫出以上各數列的公差；
5）「類比」等差中項，給出等比中項，引導學生給出關係式；
6）設置「疑問」引導學生思考等差數列與等比數列的關係；
7）設置「探究」引導學生「類比」等差數列的通項公式，探究等比數列的通項公式；引導學生在圖象上畫出等比數列與對應指數函數的圖象，並思考兩者之間的關係；
8）編排例題幫助學生理解等比數列的概念和通項公式
8.1）例題1幫助學生體會等比數列項數角度與指數函數的冪指數的關係；
8.2）例題2幫助學生熟悉等比數列的遞推公式；
8.3）例題3幫助學生進一步理解等比數列通項中各個量的含義；
8.4）例題4幫助學生理解等比數列之積仍是等比數列，並利用等比數列的通項完成證明；設置「疑問」將該結論「類比」到等差數列：兩項數相同的等差數列的線性組合仍是等差數列；設置「探究」引導學生探究兩等比數列之商是否也是等比數列；
9）課後習題。
本節理解：等比數列的概念及通項公式，它是繼等差數列後有一個特殊數列，其建立過程是完全「類比」等差數列進行的。等比數列與實際生活有密切的聯繫，如細胞分裂、銀行貸款問題等都要用等比數列的知識來解決，在研究過程中體現了由特殊到一般的數學思想、函數思想和方程思想。應用等比數列的數學模型，可以更好地刻畫現實世界中的數量關係，藉此可培養學生數學建模的思想和數學應用的意識。
【章節練習2.4】
2.5等比數列的前n項和
1）創設「情境（國王與象棋的故事）」導入課題；
2）引導學生運用等比數列的知識分析情境中國王能否實現諾言：情境中的問題相當於求等比數列前n項和；
3）引導學生用「錯位相減」的思路完成求和，給出等比數列前n項和的兩種形式；
4）設置「疑問」引導學生思考公比=1時，等比數列前n項和的公式是什麼；
5）引導學生運用等比數列前n項和公式求解情境中的問題；設置「疑問」引導學生思考等比數列前n項和公式中量與和式的關係；
6）編排例題幫助學生熟悉等比數列的求和公式
6.1）例題1幫助學生熟悉求和公式；
6.2）例題2幫助學生應用求和公式
7）引導學生思考等比數列前n項和是否也構成一個數列，並寫出其遞推關係；
8）編排例題3讓學生體會計算機在一般數列前n項和求解中的作用；體會求函數與坐標軸圍成面積中蘊含的微積分思想；
9）課後習題。
本節理解：等比數列的前n項和是一項重要的基礎內容，從知識體系來看，它不僅是等差數列的前n項和與等比數列的順延，也是前面所學函數的延續，實質是一種特殊的函數。而且還為後繼深入學習提供了知識基礎，同時錯位相減法是一種重要的數學思想方法，是求解一類混合數列前n項和的重要方法，因此，本節具有承上啟下的作用。等比數列的前n項和公式的推導過程中蘊涵了基本的數學思想方法，如分類討論、錯位相減等在數列求和問題中時常出現。在實際問題中也有廣泛的應用，如儲蓄、分期付款的有關計算。
【閱讀與思考】
本文是關於智力遊戲——九連環的介紹短文。它算是等比數列、等比數列前n項和的延續。
連環是中國的一種古老智力遊戲，它環環相扣，趣味無窮。玩九連環就是要把這九個圓環全部從框架上解下或套上，但無論是解下還是套上圓環，都要遵循一定的規則，例如我們可以按照下面的方法進行：為了解下第i個圓環，必須先解下前(i-2)個圓環，這是因為：如果前(i-1)個圓環已經被解下，第i個圓環就無法再解下；如果前(i-1)個圓環已經被解下，第(i+1)個圓環就可以很容易解下，相反地，要套上第i個圓環，必須先套上前(i-2)個圓環，套上一個圓環與解下一個圓環的過程正好相反，所需要的次數相同，如果按照這個規則解開九連環，最少需要移動圓環多少次呢？
我們不妨考慮n個圓環的情況。用K(n)表示解下n個圓環所需的最少移動次數，再用k(n)表示前(n-1)個圓環都已經解下後，再解下第n個圓環所需的次數，則可得下遞推關係：
K(n)=K(n-2)+1+k(n-1)，K(1)=1，K(2)=2
對k(n)同樣可以建立遞推關係：
k(n)=2k(n-1)+1，k(1)=1
然後運用等比數列求和公式可計算得到K(9)=341。
【章節練習2.5】
【探究與發現】
本文是關於購房中的等比數列知識。解釋了購房涉及到的一些數列知識，文章要求學生收集數據、資料計算文章中給出的兩種方案，那種對文章中的家庭更合理。
本文有利於培養學生資料收集、數據分析、決策等能力，算是知識的應用，能讓學生切實體會數學源於生活，且能為生活服務的理念。
小結
1.知識結構和邏輯框圖
2.回顧與思考
1）數列在現實世界中無處不在，你能舉出一些數列的實例嗎？數列實際上是定義域為正整數集N*(或它的有限子集1, 2, ..., n)的函數當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值，你能從函數的觀點認識數列嗎？你能體會數列的學習與實數的學習之間的異同嗎？
2）數列的通項公式描述的是數列{an}的第n項an與序號n之間的函數關係，可用式子an=f(n)表示。數列的圖象是一系列孤立的點(n，f(n))所組成的圖形。等差數列與等比數列的通項公式分別反映了什麼函數關係？它們的圖象各有什麼特點？
3）由於等差數列與等比數列所具有的特殊性質，使我們可以得到這兩種數列的前n項和公式。你能用不同的方法推導出等差數列與等比數列的前n項和公式嗎？對於任何數列{an}，Sn與an有以下關係:
你認為這個公式在解決數列問題時有哪些作用？
4）數列，特別是等差數列與等比數列，既有趣又有用。在物理、化學、生物等學科，以及經濟、天文、曆法等領域都有它的身影，請你談談這一章的學習對你的生活和學習有什麼幫助。
【總複習題】