第四章：圓與方程
【導入】
通過方程研究圓，圓的幾何特徵得到定量化描述。這是「數形結合」思想的完美體現。
【概述】
上一章，我們學習了直線與方程。知道在直角坐標系中，直線可以用方程表示，通過方程，可以研究直線間的位置關係，直線與直線的交點等問題。
本章在上一章的基礎上，在直角坐標系中建立圓的方程。通過圓的方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關係。另外，我們還要學習空間直角坐標系的有關知識，它是用解析方法研究空間幾何對象的基礎。
在直角坐標系中，建立幾何對象的方程，並通過方程研究幾何對象，這是研究幾何問題的重要方法。通過坐標系，把點與坐標、曲線與方程聯繫起來，實現空間形式與數量關係的結合。
【開篇的理解】
1）既然直線能從方程角度進行研究，那麼另一個簡單曲線——圓呢？它也能通過方程量化嗎？很自然的類比引出本章，同時也是體現「數形結合」法——坐標法的重要作用；
2）首先回顧上一章內容；
3）介紹了本章安排；
4）再次強調代數方法研究幾何問題的重要方法。
4.1圓的方程
4.1.1圓的方程
1）溫故導入課題；
2）設置「思考」引導學生思考如何表達圓；
3）利用圓的定義（到定點等於定長的點的集合）以及兩點間的距離公式導出圓的標準方程；
4）強調圓上的點滿足方程；方程上的點在圓上；
5）設置「疑問」引導學生思考圓心在原點的圓的方程；
6）編排例題1幫助學生熟悉圓的標準方程；
7）設置「探究」引導學生思考點與圓的位置關係如何通過坐標和方程判斷；
8）編排例題
8.1）例題2幫助學生從方程角度理解三點確定一個圓；
8.2）例題3從另一種方法來求三角形外接圓的方程；
8.3）設置「疑問」引導學生對比兩道例題歸納出求三角形外接圓方程的兩種方法；
9）課後習題。
4.1.2圓的一般方程
1）開門見山設置「思考（兩具體二元二次方程表示什麼圖形）」導入課題；
2）引導學生運用配方法將方程配成圓的標準形式進行判斷；
3）設置「探究」引導學生思考一般二元二次方程表示什麼圖形
3.1）配方成圓的標準形式；
3.2）分情況討論，得到滿足圓方程的條件，此時的方程成為圓的一般方程；
4）設置「思考」引導學生思考圓的標準方程與一般方程各自的特點；
5）編排例題鞏固
5.1）例題4幫助學生體會待定係數法的含義；設置「疑問」引導學生通過例題2和例題4的對比進一步理解待定係數；
5.2）例題5幫助學生意識到代數法在求解運動軌跡方面的優勢；
6）課後習題。
本兩節理解：本章節內容既是直線的後繼，又為圓錐曲線的學習作好準備。在學習中學生知道配方法、待定係數法等數學方法在解析幾何中的重要作用，並進一步體會數形結合的思想，形成用代數方法解決幾何問題的能力。
【章節練習4.1】
【閱讀與思考】
本篇是關於幾何定理機械證明的小短文。通過坐標系可將幾何問題代數化，進而化為計算問題，這時就可能用上計算機來實現幾何定理的證明。
幾何定理的機械證明發展簡史大致是：最早萊布尼茲（受笛卡兒思想的啟發）——波蘭塔斯基（一切初等幾何範疇中的命題都可以用機械方法判定）——美籍華裔王浩（在計算機上只用了9分鐘就證明了《數學原理》中的350多個命題）——吳文俊（吳方法）。
存在兩種幾何體系：一種上歐氏幾何在純粹在空間形式間推理，或說在圖形之間，或者是把數量關係歸之於空間形式，或者乾脆排除掉數量關係；另一個體系剛好與之相反，是把空間形式轉化成數量關係來處理，這種考慮方式就是笛卡爾的坐標法和中國古代解方程的計算傳統（如引入天元、地元等）。
吳文俊認為前一體系上非機械化的，後一種則是機械化的。幾何定理機械化證明的思路是：首先取適當的坐標，於是幾何定理的假設與終結通常都成為多項式方程，稱之為假設方程與終結方程；滿足定理假設的幾何圖象，就相當於假設方程組的一個解答或零點，要證明定理成立，就是要證明假設方程的零點也使終結多項式為零。
4.2直線、圓的位置關係
【導入】
1）創設「問題情境（輪船觸礁問題）」導入本章節課題；
2）將觸礁問題轉化為方程組有無解的問題；
3）為發散思維，設置「疑問」引導學生給出其他解法。
4.2.1直線與圓的位置關係
1）複習「舊知（圓與直線的位置關係：相交、相切、相離）」導入課題；
2）設置「思考」引導學生回顧初中如何判斷直線與圓的位置關係，並思考如何用方程來判斷呢？
3）編排例題來引導學生
3.1）例題1引導學生用兩種方法判斷直線與圓的位置關係：其一用直線與圓的方程組的解來判斷；其二用圓心到直線的距離來判斷；
3.2）例題2進一步強化例題1中的第二種方法；並強調適當利用圖形的幾何性質有助於簡化計算；
3.3）引導學生總結判斷直線與圓的位置關係的兩種方法；
4）課後習題。
本節理解：直線和圓的位置關係的應用比較廣泛，它是初中幾何的綜合運用，是在學習了點和圓的位置關係的基礎上進行的，又為後面的圓和圓的位置關係作了鋪墊，對後面的解題及幾何證明，將起到重要的作用。
另外本節內容蘊含著豐富的數學思想。首先，直線與圓的位置這一幾何特徵，是通過點的坐標和直線、圓的方程來研究，體現了數形結合的思想方法。這在學習直線的方程、圓的方程時，學生已經接觸過，結合本節課內容，可以進一步加強對數形結合思想方法的理解，發揮從「數」和「形」兩個方面共同分析解決問題的優勢；其次，從本節課知識的研究過程來看，由「幾何問題（位置關係）」到「代數問題（坐標、方程、點到直線的距離公式、聯立方程組等），再到「幾何問題（分析代數結果的幾何含義）」，充分體現了由「形」到「數」，再由「數」到「形」的轉化過程，是轉化思想的具體應用；再有，通過具體例子判斷直線與圓的位置關係，來歸納總結判斷直線與圓位置關係的方法，充分體現了由特殊到一般的思想方法。
4.2.2圓與圓的位置關係
1）開門見山提出「用方程來研究圓圓位置關係」導入課題；
2）設置「思考」引導學生回顧圓與圓的位置關係有哪幾種，並思考如何用方程來判斷？
3）編排例題來引導學生
3.1）例題3引導學生用兩種方法判斷圓與圓的位置關係：其一用圓與圓的方程組的解來判斷；其二用圓心距來判斷；
3.2）在第一種方法時設置「疑問」引導學生思考通過兩圓的方程可直接獲得其交線的方程；在判斷兩圓相交時不必求出具體的交點以簡化計算。
4）課後習題。
本節理解：在初中平面幾何對圓與圓的位置關係初步分析的基礎上結合前面學習的點與圓、直線與圓的位置關係，得到判斷兩圓位置關係的兩種方法：代數法（類比直線與圓判斷位置關係的方法，將兩圓的方程聯立方程組，通過討論方程組的解的不同情況來判斷）和幾何法（利用兩圓心之間的距離與半徑的和以及差的絕對值比較）。代數法主要突出代數法的思想且具有一般性，可類比地推廣到對橢圓、雙曲線、拋物線同類問題的研究中；幾何法實現了空間形式與數量關係的結合。
當然本節課也為後續圓錐曲線的學習奠定了基礎。
4.2.3直線與圓方程的應用
1）開門見山導入課題；
2）編排例題來幫助學生體會其作用
2.1）例題4計算拱橋支柱高度，期間設置「疑問」引導學生給出其它解法；
2.2）例題5幾何證明，並由此歸納出用坐標法解決幾何問題的「三部曲」；
3）課後習題。
本節理解：理解、掌握知識的最終目的在於應用，通過知識的應用，問題的解決，一方面可使學生親身體驗到學習數學的意義和作用，培養學生學習的自覺性；另一方面聯繫實際的目的就是為了更好地掌握基礎知識，增加用數學的意識，培養分析問題和解決問題的能力。
通過介紹直線與圓的方程在實際生活中的應用，其目的在於讓學生了解應用問題就是在已學數學知識的基礎上，從實際問題出發，經過去粗取精、抽象概括，把實際問題抽象成數學問題，建立相應的數學模型。讓學生掌握解決實際問題的全過程，提高學生分析問題和解決問題的能力。通過介紹直線與圓的方程在平面幾何中的應用，其目的在於讓學生了解坐標法的數學思想，掌握用坐標法解決平面幾何問題的「三步曲」，讓學生從另一個角度再次體會「數形結合」的思想方法。
【章節練習4.2】
4.3空間直角坐標系
【導入】
數軸上的點對應實數；直角坐標平面上的點對應一對二元有序實數；空間直角坐標系中的點則對應一對三元有序實數。
4.3.1空間直角坐標系
1）以單位正方體為例，建立空間直角坐標系，並給出相關概念和記號；
2）給出空間直角坐標系的分類：右手、左手；
3）將空間點與三元有序實數(x, y, z)建立對應關係，記為該點的坐標；
4）編排例題加深學生對空間直角坐標系的理解
4.1）例題1幫助學生熟悉空間坐標；
4.2）例題2結合化學實例（晶胞坐標）幫助學生感受空間直角坐標系的作用；
5）課後習題。
本節理解：本節內容是二維平面直角坐標系的推廣，為以後學習用空間向量解決空間中的平行、垂直以及空間中的夾角與距離問題、研究空間幾何對象等內容打下良好的基礎。空間直角坐標系的知識是空間解析幾何的基礎，與平面解析幾何的內容共同體現了「用代數方法解決幾何問題」的解析幾何思想；通過空間直角坐標系內任一點與有序數組的對應關係，實現了形向數的轉化，將數與形緊密結合，提供一個度量幾何對象的方法。其對於溝通高中各部分知識，完善學生的認知結構，起到了很重要的作用。
4.3.2空間兩點間的距離
1）結合實例設置「疑問（建築中兩點間的距離）」導入課題；
2）設置「思考」引導學生類比平面兩點間距離公式猜測空間中兩點間的距離公式；
3）引導學生利用勾股定理證明：空間任意一點與坐標原點間的距離公式；
4）設置「探究」引導學生思考x2+y2+z2=r2表示什麼圖形；
5）對一般情形，進一步引導學生導出：空間中任意兩點間的距離公式；
6）課後習題。
本節理解：本節內容既是對空間直角坐標系的初步應用，也是為後面學習空間向量與立體幾何奠定了基礎，具有承前啟後的作用。通過推導公式發現，由特殊到一般，由空間到平面，由未知到已知的基本解題思想，培養學生觀察發現、分析歸納等基本數學思維能力。
【章節練習4.3】
【信息技術應用】
本篇是關於《幾何畫板》在探究點的軌跡方面的介紹。它為我們提供了一個實驗、發現、猜想的環境，這種環境可以啟發我們用數學思想方法驗證我們的猜想。
小結
1.知識結構
2.回顧與思考
1）圓的方程有哪幾種形式？你能說出它們各自的特點嗎？
2）通過方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關係是本章的主要內容之一。判斷直線與圓、圓與圓的位置關係可以從兩個方面入手：
(1)直線與圓、圓與圓有無公共點，等價於由它們的方程組成的方程組有無實數解。方程組有幾組實數解，直線與圓、圓與圓就有幾個公共點；方程組沒有實數解，直線與圓、圓與圓就沒有公共點。
(2)通過方程，把直線、圓的關係轉化為相應的代數問題。
3）坐標方法解決平面幾何問題的「三步曲」：
第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；
第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：把代數運算結果「翻譯」成幾何關係。
4）怎樣在平面直角坐標系的基礎上建立空間直角坐標系？對比平面直角坐標系與空間直角坐標系中兩點間距離公式的異同點。
5）重視信息技術工具在研究幾何圖形及其位置關係中的作用，一方面，藉助信息技術，通過觀察、操作、實驗，發現數學規律，形成猜想，並對猜想進行證明；另一方面，用代數方法研究方程，了解曲線的性質，利用信息技術工具驗證，加深對問題的理解。
6）平面解析幾何的基本思想方法是利用平面直角坐標系，把點用坐標表示，直線、圓等用方程表示，並用代數方法研究幾何問題，這就是人們常說的「坐標法」。這種方法與平面幾何中的綜合法、向量方法都可以建立聯繫，另外還可以推廣到空間去解決立體幾何問題。這種聯繫可用下面的框圖表示。
【總複習題】