本文參加百家號＃科學了不起＃系列徵文賽。
魔方是一個極具挑戰性的遊戲，主要是因為魔方的組合太多了。確切地知道有多少個組合不是很有趣嗎？如果你知道如何自己計算這個數字會更有趣。
基礎
假設我們有三個彈珠（玻璃球），每個彈珠都是不同的顏色。一個是紅色的，另一個是綠色的，第三個是藍色的。如果我們要把這些彈珠在我們面前的桌子上排成一排，我們要怎麼排列它們？
三個彈珠放在桌子上我們所選擇的排序只是許多組合中的一個。我們本可以選擇把綠色放在前面而不是紅色。每個組合都是彈珠的排列。如果我們重新排列這些玻璃球，我們會找到另一個排列。
一組對象的排列是將這些對象按照特定的順序排列。——維基百科
為了計算魔方有多少個組合，我們首先要學習如何計算一組彈珠的排列。
排列
我們直觀地知道3個玻璃球的集合有幾種不同的排列方式，但究竟有多少種呢？計數的一種方法是重新排列桌子上的彈珠，直到我們找到每個排列。這樣做，我們可以看到我們有六個排列。
一組3個玻璃球有6種排列方式當我們只有3個玻璃球的時候，把每一個排列都可視化是很有效的，但是如果我們想要計算一袋500個玻璃球的排列呢？我們需要一個不同的策略。
有一個很好的數學技巧我們可以用來計算排列的可能組合，叫做階乘。給定n個元素，n的階乘等於n的排列數。
一個非負整數n的階乘，用n表示！」，是所有小於等於n的正整數的乘積。——維基百科
因為我們有3個玻璃球，我們可以通過計算3的階乘來計算排列的總數。
一組3個玻璃球有3的階乘的排列。玻璃球沒有方向。不管它是怎麼放在桌子上的，它看起來總是一樣的。當我們計算彈珠的組合數時，我們只關心它們的排列。
如果我們想計算一套三張撲克牌的總排列數會怎樣？
最初，問題看起來是一樣的。我們有三張牌，並且知道它們可以被排列成3的階乘不同的排列，就像玻璃球一樣。
我們三張牌的一個位置然而，撲克牌是有方向的。我們可以翻轉這三張牌中的任何一張，我們會得到一個不同的組合。為了計算組合的總數，我們需要同時考慮每張牌的排列和方向。
當翻轉卡片時，會得到一個新的情況我們已經學過如何計算排列的總數。接下來，我們將看到如何計算每個排列的方向總數。
我們有三張牌，每張牌有兩種可能的朝向，面朝上或面朝下。對於我們的三的階乘排列中的每一個，我們都能夠得到所有這些方向。
每個排列有八個可能的方向一組三張牌的一個排列總共有多少個方向？我們可以用上面的圖來計算，但是這樣計算會更快。我們有三張牌，每張牌有兩個方向。一個排列紙牌的總方向數可以計算為2的三次冪。
每個排列都有八個可能的方向三張牌的總組合
我們已經確定紙牌的排列總數是3的階乘，每種排列的方向總數是2的三次冪。
計算組合的數量是通過排列的數量乘以方向的數量來得到的。
排列和方向的乘積是組合考慮到所有排列和方向，一套三張撲克牌有48種可能的組合。
了解魔方
現在我們已經掌握了計算魔方組合總數所需的所有知識。我們知道，給定一組有p個方向的n個物體，可以計算出這組物體的組合總數。
有p個方向的n個物體的總組合一旦我們理解了魔方是如何構建的，我們就可以應用這個公式來計算組合的總數。
魔方的解剖圖
魔方有6條邊，每條邊都有9個方塊，但在計算組合數時，這不是一個思考魔方的好方法。相反，我們需要了解立方體是如何構建的，有哪些類型的塊，以及每個塊是如何圍繞軸移動的。
重要的是要理解魔方有三種類型的「棋子」。當我們轉動立方體的側面時，每個立方體的表現都不同。我們在計算時要記住這一點。
計算組合
魔方的組合總數可以通過分別觀察這三種類型的棋子來計算。
中心位置
魔方有六個中心棋子，它們位於魔方每個面的中心。正如我們所知，中心部分是固定軸的一部分，不動。所有其他的棋子都在中心移動。這意味著中心部分有一個排列和一個方向。
直覺上我們知道一個排列和一個方向的東西只有一個位置，但是我們可以通過把這些數字代入方程來驗證。
魔方中心的所有組合
頂角角
每一個三維立方體都有八個角，魔方也不例外。與中心不同，每個角塊都可以移動和旋轉。因為有8個角，所以這些塊的排列總數是8的階乘。
為了計算出一件物體的方向數，我們需要知道每個棋子著色面的數量。一個頂角角有三個面著色，所以它必須有三個方向。正如我們所學的，這意味著每個頂角的方位的總數是3的8次方。
根據這些數字，我們可以計算出頂角的組合總數。
魔方的各個頂角的組合
邊角
魔方有12個邊角，每個邊角都可以移動或翻轉。我們可以計算這些邊角的排列總數為12的階乘。
我們可以使用相同的方法，確定邊角有兩個方向（兩個著色面）。這意味著邊角的方向總數是2的12次方。
根據這些數字，我們可以計算出邊角的組合總數。
魔方邊角的總組合
把它們放在一起
我們已經計算了中心，頂角，邊角的組合數。要計算整個魔方的所有組合，最後一步是把這些數字相乘。
魔方的總組合但是，還沒有結束
我們已經成功地計算了組合數量，但是做出了一個假設。我們的計算假設可以將魔方拆開，這是不可以的。那麼並不是魔方的每個位置都是可能的。
由於魔方的局限性，每12個位置中只有1個可以通過轉動魔方的側面來實現。我們可以把這個因素代入我們的式子中，然後確定魔方的合法組合總數。
它有多大？
魔方有超過四十萬億個合法的組合。
如果你能以每秒1000次的速度來觀察每一個組合，那就需要1億3千萬年的時間。
如果我們把43萬億分之一的硬幣堆在一起，那麼這堆硬幣的高度足夠到達太陽並返回地球。