如果你擁有 6 塊樂高積木，等於擁有了全世界。
從數學的角度來講，6 塊 2×4 規格（8 個凸起）的樂高積木，可以創造超過 9 億種不同的組合，所以在玩樂高這件事上唯一能夠限制你的，就只有想像力了。
故事從什麼時候開始呢？
我也查不到是誰開始問這個問題的「六塊積木可以有多少種不同的組合?」
1958年，樂高估算六種標準的樂高積木可以用102，981，500（1.03億）種方式組合在一起。
但2004年數學教授Soren Eilers發現數字應該是915,103,765種（9.15億）組合
在這段樂高積木紀錄片的剪輯中，這位優秀的數學教授解釋了為什麼樂高最初的估算相差如此之遠。他們只考慮了六塊積木疊放在一起的塔狀結構，但沒有考慮比如兩塊積木、四塊積木並排放在一起。
在試圖通過理論計算失敗後，Eilers教授在哥本哈根大學的一臺計算機上編寫了一個電腦程式來幫助確定實際數字。經過大約一周的計算，他得出了915,104,765種組合這個計算結果。
今天，我們有更快的電腦，同樣的計算只需要5分鐘，但是增加額外的磚塊會幾何級數地增加計算時間。
Eilers教授做過更多磚塊的計算：
7塊磚大約需要兩個小時。
8塊磚可能要花21天（20.83天，準確地說）。
Eilers教授估計，計算9塊或10塊磚需要數年，甚至數百年。
所以，如果你今年寒假有空的話，可以考慮一下計算這個問題。哈哈。
我們來詳細討論一下
為什麼102，981，500是錯的?
這個數字大概是一個人用2乘4的樂高積木堆一座六塊積木高的塔的方法。但是，當人們用樂高積木建造時，並不需要把每塊磚都放在前一塊上。
事實上，這是樂高的一個主要特點，人們可以更自由地組合磚塊。
樂高計算了所有的搭配組合，比如這樣
但樂高忽略了多塊積木在同一層的組合，比如這樣：
那麼，如何搭出（算出）102，981，500種組合這個數字呢?
首先考慮兩個2乘4的樂高積木有多少種組合方式。如果一個人確定了樂高底部的磚塊的位置，第二個可以用46種方式放在上面，也就是：
然而，這裡只有藍紫色的組合是獨一無二的。所有其他的組合都是雙倍重複的，這可以通過將下方的磚塊旋轉180度來實現，所以我們可以看到我們制定的兩塊2x4積木樂高磚塊的不同組合的數量是:
2 + 44/2 = 24
要用6塊磚建造一座塔，你可以在46個位置中選擇5次。同樣，大多數搭配都是雙倍重複的。不重複的有一共有2^5個重複配置，剩餘的46^5-2^5個配置是可以通過最底的磚旋轉180度得到。所以我們得到了
請注意，樂高報告的數字相差了4。
我們覺得，這可能只是因為當時使用的計算器沒有9位數的計算容量。
如何得到915,103,765這個數字?
我們已經編寫了電腦程式來系統地生成和計算所有6塊2x4的積木的不同搭配。
這是一個在標準家庭電腦上大約需要運行半個星期的計算。
為了避免出錯，我們獨立開發了兩個不同的電腦程式，並在不同的平臺上執行。最初由Soeren Eilers開發的程序是用Java編寫的，在G4 Apple Powerbook上運行，並使用遞歸計數過程。
隨後由Mikkel Abrahamsen開發的程序是用Pascal編寫的，在裝有Windows XP的Intel機器上運行，並使用迭代計數過程。
我們計算不同高度的搭配數字：
為什麼樂高沒有計算出正確的數字?
樂高沒有找到更大的數字，這似乎令人驚訝，因為這個計算對樂高很有意義，能夠讓公眾相信這個玩具是一個靈活的玩具。
但是，如果沒有一臺功能強大的計算機，要計算出正確的數字似乎是不可能的。在計算1.03億的數字完成的時候，樂高可能還沒有這樣的計算機。
在1974年5月的樂高公司通訊 Klodshans中，那時的老闆Jürgen Kirk Kristiansen明確給出的計算得出了102，981，500的數字，他表示樂高只打算計算按照6層的最高高度的塔式搭法。
很明顯，這些年來，樂高忘了去計算更準確的數字。
為什麼這個計算很難?
值得指出的是，問題並不在於數字的大小。比如說，在幾分之一秒內，我們可以計算出25塊2x4積木組合成25層高的塔的組合方式有：
4,028,635,400,867,168,454,517,798,790,018,457,665,536 種
這是一個40位的數字，但沒問題，因為我們有方便的公式來計算這裡組合的數量
但是各種高度搭法的組合總數的數學計算就沒有這麼明顯的規律了，六塊積木的組合是如此不規則，以至於很難給出一個公式。我們必須考慮所有的可能性。
根據我們的數據，我們估計，將25塊2乘4的樂高積木組合，結果將是個47位數字的搭配總數。
以目前我們電腦程式的效率，我們進一步估計，它將需要我們
130881177000000000000000000000000000000000年
才能計算出正確的數字，也就是在大約50億年後，我們將不得不將我們的計算機移出太陽系來完成這個計算，因為太陽預計將在那時成為一顆紅巨星。
這有什麼有趣的?
很明顯，沒有人真的需要知道6個或更多的樂高有多少種組合方式，市場事實清楚地證明，樂高在過去幾十年裡用1.03億的數字，就做到了世界玩具的老大!
但是，對於數學家來說，這是一個有趣的挑戰: 計算或至少估計出給定數量的2乘4的樂高積木的組合方法。這樣的挑戰對於推動數學研究總是很重要的。
而且經常發生的情況是，研究一個沒有實際應用的問題(比如這個問題)的方法，對於研究那些確實對日常生活有影響的問題是有用的。
數學家經常遇到這樣的問題: 數學中是否還有什麼值得研究的地方?
認為數學研究在某種程度上已經完成的普遍誤解可能是由這樣一個事實引起的: 大多數人在他們的教育中遇到的數學已經有幾個世紀的歷史了。
事實上，數學是一個充滿活力的研究領域，有很多開放問題，比如研究積木組合就是個有趣的開放問題。
研究結果？
我們預測不可能找到有效的公式來計算組合N個磚塊的方法的數量。
我們已經證明了將N個磚塊組合成高度為N-1的塔(其中兩個磚塊恰好在其中一層)的方法是
我們也可以對其他相對比較「高」的搭建做類似的事情。但要找到明確的計算總數的公式似乎是不可能的。
組合7個2x4塊的方法是：
85,747,377,755
我們在一篇關於「On the entropy of LEGO」的論文中給出了N塊積木的構型數的上界和下界。
因此它的增長速度不超過204^N。
然後，可以再使用74130種方法來建造一個4塊積木來搭建一個3層積木高的塔，中間層有2塊積木，來證明增長至少是64^N的速度。
可以給出更精確的估計，表明隨著積木塊數N的增加，組合的增長率在78^N到191^N之間。我們預測實際值在100左右。
都誰在研究這個課題？
Soren Eilers是哥本哈根大學數學系的副教授(丹麥頭銜:lektor), 這是丹麥最大的大學，成立於1479年。
在參觀丹麥比隆德樂高樂園的樂高博物館後，他對102981500這個數字產生了懷疑。2004年夏天，他開發並執行了一個程序，得到了915,103,765這個組合數字。隨後，他開始研究如何更好地描述組合的數量。由於Eilers教授自身不是組合學家，他試圖說服同事們來一起解決這個問題。
Mikkel Abrahamsen是Odsherreds體育學院的一名高中生，他找到哥本哈根大學數學系，就一個學習項目徵求意見。Eilers向他提出了這個問題，但沒有給出自己的計算數字，也沒有提供任何他自己的計算細節。隨後 Mikkel Abrahamsen發展了自己的方法，獨立計算出了915,103,765這個數字。
Mikkel Abrahamsen使用的方法在計算上比Soren Eilers開發的方法更有優勢，他隨後致力於提高程序的速度，以便更好地估算超過6塊磚塊的組合數量。Mikkel Abrahamsen因此獲得了丹麥的「Forskerspire」獎。
Bergfinnur Durhuus是哥本哈根大學數學系的副教授。作為一名數學物理學專家，他發現了樂高問題與這一領域的方法之間的聯繫，並發現了基於給定磚塊數量的配置數量的估算方法。
想要更多交流？
可以給 Soren Eilers教授發郵件 eilers@math.ku.dk
或在工作日撥打電話 0045 35320723 (workdays, 9am-3pm CET).
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