初中數學——數形結合探究絕對值的定義、性質及絕對值方程的解法

今天我們一起學習絕對值的概念、性質以及簡單絕對值方程的解法，在講絕對值之前，我們先複習相關知識。

圖1

溫故知新

1.數軸的概念：

數軸是規定了原點、正方向、單位長度的直線。

2.數軸的三要素：原點、正方向、單位長度。

3.相反數的概念

只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。

引入

想一想，如圖2所示，大象距原點多遠？兩隻小狗分別距原點多遠呢？

圖2

要解決上述問題數學上引入了絕對值的概念。

1.絕對值的定義

在數軸上，表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作︱a︱。這是絕對值的幾何概念。

注意：

（1）一個數的絕對值就是在這個數的兩旁各畫一條豎線，如+2的絕對值等於2，記作|+2|＝2。

（2）一個數a的絕對值就是數軸上表示這個數的點與原點之間的距離。

（3）數a的絕對值記作|a|.

那麼，由圖2可知，大象離原點4個單位長度：│４│＝４；小狗離原點3個單位長度：│3│=3，│-3│=3；

再如圖2所示，-5離原點5個單位長度，即│-5│=5.

圖3

2.互為相反數的兩個數的絕對值的關係

想一想：互為相反數的兩個數的絕對值有什麼關係？

結論：一對相反數雖然分別在原點兩邊，但他們到原點的距離是相等的，也即他們的絕對值是相等的。

所以，一個數的絕對值一定大於或等於0.即：絕對值具有非負性。

例如：絕對值等於6的數有-6和6； 絕對值是0的數是0 。

3.一個數的絕對值與這個數的關係？

議一議：一個數的絕對值與這個數有什麼關係？

根據絕對值的定義，我們知道：|3|＝3，|＋7|＝7，|－3|＝3，|－2.3|＝2.3，|0|=0.

所以，一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0，且絕對值是0的數只有一個，就是0；絕對值等於同一個正數的數有兩個,這兩個數互為相反數。

4.總結：

因為正數可用a＞0表示，負數可用a＜0表示，所以上述三條可表述成：(1)如果a＞0，那麼|a|＝a　　 (2)如果a＜0，那麼|a|＝－a　　 (3)如果a＝0，那麼|a|＝0

不論數a取何值，它的絕對值總是正數或0。即對任何有理數a，總有|a|≥0.

5.絕對值方程

（1）定義：絕對值符號中含有未知數的方程叫做絕對值方程。即形如|kx+b|=c(c≥0)就是絕對值方程，這個絕對值方程可化為兩個一元一次方程kx+b=c和kx+b=-c。

（2）求解方法

①零點分段法

a.求出使絕對值內代數式值為零的方程的解。

b.將所有解由小到大依次排好。

c.將未知數分類討論。

d.解出每種情況的解。

e.驗根，得解。

例1：解方程:|x+3|+2x=4.

解:①當x≤-3時，x+3≤0

則-(x+3)+2x=4，

解得x=7,與x≤-3矛盾，不成立，捨去.

②當x>-3時，x+3>0，

則x+3+2x=4，

解得x=1/3,成立.

綜上所述，原方程的解為x=1/3.

②平方法

步驟

等式兩邊平方，去絕對值。解方程。例2：解方程:|x+2|=|2x-1|.

解:兩邊平方，得(x+2)^2=(2x-1)^2，

得x+2=2x-1或x+2=-(2x-1),

解得x=3或x=-1/3,

所以原方程的解為x=3或x=-1/3。

小結：

1.絕對值的定義

（1）幾何定義：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。

（2）代數定義：正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0 的絕對值是 0。

2.絕對值的性質：

（1）絕對值具有非負性；

（2）絕對值是0的數只有一個，就是0；

（3）絕對值等於同一個正數的數有兩個,這兩個數互為相反數。

3.會利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數，絕對值大的反而小。

4.絕對值方程的解法：零點分段法和平方法。

練習

1. 判斷（對的打「√」，錯的打「×」）：

（1）一個有理數的絕對值一定是正數。 ( )

（2）－1.4<0，則│－1.4│<0。 ( )

（3） │－32︱的相反數是32 ( )

（4） 如果兩個數的絕對值相等，那麼這兩個數相等。（ ）

（5） 互為相反數的兩個數的絕對值相等 ( )

2.已知有三個數a、b、c在數軸上的位置如下圖所示：

圖4

（1）則a、b、c三個數從小到大的順序是：

（2）則│a│ │c│,│b│ │c│（填<或>）

3. 足球比賽中對所用的足球有嚴格的規定，下面是5個足球的質量檢測結果（用正數表示超過規定質量的克數，用負數表示不足規定質量的克數）

-20 +10 +12 -8 -11

請指出哪個足球的質量好一些，並用絕對值的知識加以說明。

4.已知a,b,c在數軸上的位置如圖所示，化簡│2a│-│a+c│-│1-b│+│-a-b│.

圖5

5.解方程|x+1|+|x+2|=4.

答案

（1）×（2）×（3）×（4）×（5）√ （1）a ＜ b ＜ a （2）<,<答：記為-8的足球質量好一些。因為│－20│=20，│+10│=10，│+12│=12，│－8│=8，│－11│=11

所以│－8│ < │+10│ < │－11│ < │+12│ < │－20│ 也就是說記為-8的足球與規定的質量相差比較小，因此其質量比較好.

4.解：∵a,c在原點的左側，a<-1

∴a<0,c<0

∴2a<0,a+c<0

∵0<b<1

∴1-b>0

∵a<-1

∴-a-b>0

∴原式=-2a+(a+c)-(1-b)+(-a-b)

=-2a+a+c-1+b-a-b

=-2a+c-1

5.解:①當x≤-2時，x+1<0，x+2≤0，

則-(x+1)-(x+2)=4，

解得x=-3.5≤-2，成立.

②當-2<x≤-1時，x+1≤0<x+2，

則-(x+1)+(x+2)=4，

解得1=4，不成立，捨去.

③當x>-1時，x+2>x+1>0，

則(x+1)+(x+2)=4，

解得x=0.5>-1，成立.

綜上所述，原方程的解為x=0.5或x=-3.5.